Espacio topológico metrizable $X$ con toda métrica admisible completa entonces $X$ es compacto

Question

Cómo probarlo:

Si $X$ es un espacio topológico metrizable y toda métrica admisible sobre $X$ está completo, entonces $X$ es compacto.

Intentaba con una idea de contradicción y así construir una métrica incompleta sobre $X$ . Pero no se puede construir.

Answer 1

Supongamos que $\langle X,\tau\rangle$ es metrizable, toda métrica compatible sobre $X$ es completo y no compacto; entonces existe un conjunto cerrado y discreto contablemente infinito $D=\{x_n:n\in\Bbb N\}\subseteq X$ . Dejemos que $d$ sea una métrica compatible; $d$ no está totalmente acotado, por lo que podemos suponer que existe un $\epsilon>0$ tal que $d(x_m,x_n)\ge\epsilon$ siempre que $m,n\in\Bbb N$ y $m\ne n$ y al escalar la métrica $d$ podemos suponer que $\epsilon=1$ . Dejemos que $p$ sea un nuevo punto que no esté en $X$ y que $Y=X\cup\{p\}$ . Para $n\in\Bbb N$ dejar

$$U_n(p)=\{p\}\cup\bigcup_{k\ge n}B_d\left(x_k,2^{-(n+1)}\right)\;.$$

Dejemos que $\tau'$ sea la topología en $Y$ generado por la base $\tau\cup\{U_n(p):n\in\Bbb N\}$ claramente $X$ es un subespacio abierto de $Y$ y $\operatorname{cl}_YU_{n+1}(p)\subseteq U_n(p)$ para cada $n\in\Bbb N$ Así que $Y$ es regular.

Para demostrar que $Y$ también es $T_1$ basta con demostrar que $\bigcap_{n\in\Bbb N}U_n(p)=\{p\}$ . Claramente $x_n\notin U_{n+1}(p)$ para cada $n\in\Bbb N$ Así que supongamos que $x\in X\setminus D$ . Entonces $d(x,D)>0$ por lo que podemos elegir $n\in\Bbb N$ tal que $2^{-n}<d(x,D)$ y claramente $x\notin U_n(p)$ . Así, $Y$ es $T_3$ .

$X$ es metrizable, por lo que tiene una base $\mathscr{B}=\bigcup_{n\in\Bbb N}\mathscr{B}_n$ de manera que cada $\mathscr{B}_n$ es localmente finito. Para $n\in\Bbb N$ dejar $\mathscr{B}_n'=\mathscr{B}_n\cup\{B_n(p)\}$ y que $\mathscr{B}'=\bigcup_{n\in\Bbb N}\mathscr{B}_n'$ Entonces $\mathscr{B}'$ es un $\sigma$ -base localmente finita para $\tau'$ . Por la metrización de Nagata-Smirnov $\langle Y,\tau'\rangle$ es metrizable; dejemos que $\rho$ sea una métrica compatible.

Entonces $\rho'=\rho\upharpoonright(X\times X)$ es una métrica compatible en $X$ . Sin embargo, la secuencia $\langle x_n:n\in\Bbb N\rangle$ converge a $p$ en $Y$ Así que es $\rho$ -Cauchy y por tanto $\rho'$ -Cauchy, pero no converge en $X$ . Esta contradicción establece el resultado.