Voy a empezar con tu ejemplo y a trabajar hacia una noción más abstracta de la estructura a lo largo de este escrito. Veamos, la biyección que das es una función $f:A\rightarrow B$ . Pero todo lo que tenemos son los conjuntos $A,B$ . No se da ninguna otra información. Entonces, ¿qué codifica la biyección? Bueno, ambos conjuntos tienen $3$ elementos. Tal vez sea eso lo que debamos analizar. Entonces, dejemos que $$M\overset{f}\longrightarrow N$$ sea una biyección entre conjuntos. Si sabemos $M$ es de cardinalidad finita, no es demasiado difícil deducir a partir del principio de la colombofilia que $N$ también es de carácter finito, equivalente cardinalidad. También utilizamos esta noción para el infinito. Dos conjuntos tienen cardinalidad equivalente si, y sólo si, existe una biyección entre ellos. Así, dada la información $M,N$ son conjuntos con $f$ una biyección entre ellos realmente sólo podemos deducir $M,N$ tienen la misma cardinalidad (bajo algunos supuestos muy técnicos si no recuerdo mal). Por esta razón, diríamos $M,N$ son isomorfos como conjuntos con $f$ a conjunto isomorfo entre $M$ y $N$ .
Ahora veamos algo más general. Digamos que $M$ es un conjunto y $\tau$ es una estructura en $M$ . Podemos escribir esto como $(M,\tau)$ si queremos. Ahora supongamos que tenemos otro conjunto $N$ con una estructura (de "tipo" similar) llamada $\sigma$ . De nuevo, podemos seguir la pista de este conjunto y su estructura mediante el par ordenado $(N,\sigma)$ . Como antes, si se nos da una biyección, $$M\overset{f}\longrightarrow N$$ realmente sólo podemos concluir $M,N$ son isomorfos como conjuntos. Sin embargo, digamos que $\tau$ da $M$ una estructura de espacio vectorial (es decir, elementos de $M$ se puede sumar y la multiplicación escalar de un campo $K$ está permitido). Aquí es donde el mismo "tipo" es importante. Si $\sigma$ es una topología en $N$ No hay una forma inmediata (para mí no es inmediata) de mostrar $\tau$ y $\sigma$ son prácticamente iguales. Así que suponga $\sigma$ es también una estructura de espacio vectorial pero en $N$ . Queremos describir un isomorfismo entre $M$ y $N$ para que la única diferencia real entre $(M,\tau)$ y $(N,\sigma)$ es como los etiquetamos. Una forma de conseguirlo es observar siempre que $f(ka+b)=kf(a)+f(b)$ para $a,b\in M$ y $k\in K$ it no importa si calculamos las operaciones de $+, \cdot$ en $M$ primero o en $N$ después de mapear con $f$ . Desde $f$ se supone que es una biyección, tenemos que $M,N$ son del mismo tamaño que los conjuntos (misma cardinalidad), y todas las operaciones son iguales. Así que $(M,\tau)$ y $(N,\sigma)$ son isomorfos como espacios vectoriales y $f$ es un isomorfismo del espacio vectorial entre ellos.
Podemos extender esta idea anterior a cualquier número finito de estructuras sobre un conjunto $M$ - si tenemos $\tau_1, \tau_2,\dots, \tau_n$ miramos $(M,\tau_1,\dots, \tau_n)$ - pero ahora esto se reduce a nuestra idea de lo que es una estructura. Probablemente aún no haya una definición definitiva para esto (tal vez la haya, pero apostaría que en muchos casos esta definición proviene de la intuición construida a partir de muchos ejemplos y usos). Digamos que
Definición: Una estructura en un conjunto $M$ es cualquier información extra que se nos da sobre el comportamiento de los elementos, funciones o subconjuntos de $M$ . Esto capta la idea de una estructura algebraica (un conjunto $M$ con una operación binaria $\phi$ ), una estructura topológica (un conjunto $M$ con una colección de subconjuntos abiertos $\tau$ ), una ordenación (un conjunto $M$ con una relación $\preceq$ ), y muchas otras ideas. Decimos que $(M,\tau_1,...,\tau_n)$ es un objeto $M$ con las estructuras $\tau_1,\ldots,\tau_n$ .
Esto también motiva la
Definición: Dos objetos con una estructura determinada $(M,\tau)$ y $(N,\sigma)$ se dice que son isomorfas bajo el "tipo" de estructura dado si $(M,\tau)$ y $(N,\sigma)$ son los mismos hasta el reetiquetado de los elementos.
Matemáticamente, estas son definiciones bastante informales. Pero se les puede dar rigor a través de la teoría de conjuntos.
Edición: Demostremos que hay algo de verdad en estas definiciones (con o sin justificación).
Diremos que una estructura es válido o consistente si no da lugar a ninguna proposición ilógica. Por lo demás, todas las estructuras se dan por válidas.
Un objeto $(M,\tau_1,...,\tau_n)$ es un conjunto $M$ con cualquier número finito de estructuras $\tau_1,...,\tau_n$ . Llamamos $(U, \tau_1|_U,...,\tau_n|_U)$ un subobjeto si $U\subseteq M$ y $\tau_1|_U,...,\tau_n|_U$ son las estructuras inducidas en esta restricción.
Dado un mapa $f:M\rightarrow N$ de conjuntos con estructuras asociadas $\tau$ y $\sigma$ respectivamente, llamaremos $f$ un morfismo si $f$ induce una subestructura válida en $\sigma$ . Más formalmente, si denotamos por $\hat{f}(\tau)$ la subestructura inducida por $f$ entonces $(f(M),\hat{f}(\tau))$ es un subobjeto de $N$ .
Propuesta: Si $(M,\tau_1,...,\tau_n)$ , $(N,\sigma_1,...,\sigma_m)$ son objetos y $f$ es un morfismo inyectivo (donde un morfismo inyectivo significa un morfismo cuyo mapeo es una inyección a nivel de conjuntos) de $M$ a $N$ entonces $M$ es isomorfo a un subobjeto de $N$ .
Prueba. Desde $f$ es un morfismo, $(f(M),\hat{f}(\tau_1),...,\hat{f}(\tau_n))$ es un subobjeto de $N$ (si $n\geq m$ puede darse el caso de que $f$ "olvida" parte de la estructura). Como $f$ es una inyección, para cualquier $x\in M$ tenemos un claro $y=f(x)\in N$ . Así que podemos reetiquetar $x$ como $y$ . Ahora sólo tenemos que comprobar que la estructura se conserva. Pero esto es cierto ya que $\hat{f}(\tau_i)=\sigma_j|_{f(M)}$ para algunos $i,j$ por definición. $\square$
De hecho, esto es una generalización del primer teorema de isomorfismo cuando $f$ es una inyección.
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En el caso de los grupos, la "estructura" viene dada exactamente por la operación sobre su conjunto. En el caso de los espacios topológicos, viene dada por la colección de conjuntos abiertos. En el caso de los espacios métricos, viene dada por una métrica (es decir, una noción de distancia entre dos puntos). Puede consultar la página de Wikipedia sobre álgebra abstracta . Si está realmente interesado en esto, también debería consultar álgebra universal que es el estudio formal de las estructuras algebraicas.
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En su día tuve este dilema, pero ahora tengo el inverso: ¿qué son las estructuras, aparte de lo que preservan ciertos mapas? En realidad, si lo he entendido bien, la teoría de las categorías nos dice que podemos dejar de lado los objetos y ocuparnos sólo de los mapas.