$M$ es un módulo$A$ fiel.

Question

Permita a$A = M_2(\mathbb{C})$ y a$M = \mathbb{C}^2$ con su estructura habitual de módulos de$A$. ¿Cómo demuestro que$M$ es un módulo fiel$A$ -? Entiendo que esto equivale a mostrar que su aniquilador es solo el ideal cero, pero no estoy seguro de qué hacer a partir de ahí. Cualquier ayuda será apreciada, gracias.

Answer 1

Así que la pregunta tiene una respuesta:

Supongamos que$M$ es una matriz cuya primera columna es un lugar distinto de cero. Luego, si$v=(1,0)^t$ entonces$Mv\neq 0$ porque es igual a la primera columna de$M$. Un argumento similar funciona si la segunda columna es distinta de cero con el vector$(0,1)^t$. Por lo tanto, ninguna matriz distinta de cero aniquila el módulo.