Mapa no trivial del espacio proyectivo múltiple al real.

Question

Ahora estoy haciendo viejos exámenes de topología de la Universidad de Maryland, y hay un problema siguiente:

Si$M$ es m-manifold conectado de forma compacta, muestre que existe un mapa continuo no nulo-homotópico desde$M$ a$\mathbb{R}P^n$, suponiendo que$m=n$ y$n$ es impar.

¿Cómo resolver este problema? Además, ¿por qué es más fácil impar$n$? Hay una información de que esto también es cierto incluso para$n$.

Answer 1

En primer lugar, supongamos $M$ es no orientable. A continuación, $H^1(M;\mathbb{Z}/2)$ es trivial, y por lo tanto existe un mapa de $f:M\to K(\mathbb{Z}/2,1)=\mathbb{R}P^\infty$, lo que induce a un mapa distinto de cero en $H^1(-;\mathbb{Z}/2)$. Desde $M$ $n$- dimensional, $f$ es homotópica a un mapa de $g:M\to\mathbb{R}P^n$ por celular aproximación. Este mapa $g$ es distinto de cero en $H^1(-;\mathbb{Z}/2)$, y, en particular, no es nullhomotopic.

Ahora supongamos $M$ es orientable. El colapso de la parte exterior de una bola abierta en $M$ a un punto te da un mapa de $f:M\to S^n$, lo que induce un isomorfismo en $H^n(-;\mathbb{Z})$ (asumiendo $n>0$; $n=0$ el resultado no es cierto). Componer $f$ con el cociente mapa de $p:S^n\to\mathbb{R}P^n$, se obtiene un mapa de $pf:M\to \mathbb{R}P^n$.

Ahora hay dos maneras en las que podemos mostrar $pf$ no es nullhomotopic, uno de los cuales requiere que usted asuma $n$ es impar. En primer lugar, si $n$ es impar, obtenemos esto por un simple cálculo en cohomology. Al $n$ es extraño $\mathbb{R}P^n$ es orientable y $p$ induce la multiplicación por $2$$H^n(-;\mathbb{Z})$. De ello se desprende que $pf$ induce la multiplicación por $2$ $H^n(-;\mathbb{Z})$ y por lo tanto no es nullhomotopic.

Alternativamente, se puede observar que desde $p$ es una cubierta mapa, cualquier nullhomotopy de $pf$ levantaría a un homotopy de $f$ a un mapa cuya imagen está contenida en una sola fibra de $p$. Desde $M$ está conectado, el último mapa de la realidad debe de ser constante, por lo que esto le da un nullhomotopy de $f$. Pero $f$ es trivial en $H^n(-;\mathbb{Z})$, por lo que no es nullhomotopic, por lo $pf$ no puede ser nullhomotopic.