En el Hilton y Stammbach del álgebra homológica libro, el final de la cap. 2, escribieron en general $F(\mathfrak{C})$ no es una categoría en todos en general. Pero no acabo de conseguirlo. He comprobado que los axiomas de una categoría para la imagen, y creo que todos son satisfechos. Me estoy perdiendo algo? Gracias.
Respuesta
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Considerar la categoría de $C$ con cuatro objetos, $a,b,c,d$ y, aparte de la identidad de flechas, una sola flecha $a\to b$ y una sola flecha $c\to d$. Ahora, considere la categoría de $D$ con tres objetos $x,y,z$, y, aparte de la identidad de las flechas, las flechas $x\to y$, $y\to z$, y $x\to z$. Ahora, considere el functor $F:C\to D$ con $F(a)=x$, $F(b)=F(c)=y$, y $F(d)=z$ (extendido de forma exclusiva a las flechas). Su imagen no es una categoría.
Esta actividad está relacionada con el hecho de que los epis en $Cat$ no son tan sencillas. En el trabajo de Isbell epis en $Cat$ se caracterizan. Vale la pena señalar que los epis, split epis, etc. en $Cat$ son muy diferentes, lo que demuestra de nuevo a la sutileza de los epis.
