La suma de los divisores impares de n

Question

La suma de los divisores impares de n es$-\sum_{d|n}(-1)^{n/d}d$, y si n es par, entonces$$\sum_{d|n}(-1)^{n/d}d=2\sigma(n/2)-\sigma(n)$ $

¿Podría darme algunos consejos sobre eso?

Answer 1

Sugerencia : $d$ es una divisores de $n$ si y sólo si $\frac{d}{2}$ es un divisores de $\frac{n}{2}$.

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EDIT : he Aquí una evidencia completa. Vamos a probar dos cosas : la suma de los divisores impares de $n$ está dado por la fórmula $-\sum_{d |n} (-1)^{n/d} d$, y si $n$ es par, entonces es también igual a $\sigma(n)-2\sigma(n/2)$.

Si $n$ es impar, esto es obvio, por lo tanto, estamos reducido para el caso de que $n$ es incluso. A partir de la sugerencia anterior, tenemos que la suma de incluso divisores de $n$$2\sigma(n/2)$. Por lo que la suma de los divisores impares es $\sigma(n)-2\sigma(n/2)$. Por último, tenga en cuenta la suma

$$\sigma(n) + \sum_{d |n} (-1)^{d} \frac{n}{d} = \sum_{d |n} (1+(-1)^{d}) \frac{n}{d} = 2 \sum_{d |n, \ d \text{ even}} \frac{n}{d}$$

El cambio de la variable a $d' = d/2$, se obtiene

$$\sigma(n) + \sum_{d |n} (-1)^{d} \frac{n}{d} = 2 \sum_{d' |n/2}\frac{n/2}{d'} = 2 \sigma(n/2)$$

Lo que concluye la prueba. Una nota de lado, podría realizar el cálculo utilizando Dirichlet serie, por lo que encontrar :

$$\eta(s) \zeta(s-1) = (1-2^{1-s}) \zeta(s) \zeta(s-1)$$

donde $\eta(s) = \sum_{n \ge 1} \frac{(-1)^{n+1}}{n^s}$.

Answer 2

Para la primera parte, puedes intentar escribir$n=2^km$, donde$m$ es impar. Luego, los divisores de$n$ son los números$d,2d,4d,\dots,2^kd$ donde$d$ corre a través de los divisores impares de$n$, es decir, a través de los divisores de$m$. Ahora puedes reescribir tu suma para incluir una suma en los poderes de 2.