¿Es el supremo de $\int_ {B(y,r)} \lvert u \rvert ^{p^ \ast }$ donde $u \in W_0^{1,p}$ alcanzado dentro de un conjunto abierto?

Question

Deje que $\Omega\subseteq \mathbb {R}^n$ ser un dominio delimitado con límites suaves. Arreglar $1< p < n$ y dejar $p^ \ast$ denotan el conjugado sobolev de $p$ .

Ahora, fija un pequeño número $r>0$ y supongamos $u \in W_0^{1,p}( \Omega )$ . Por la desigualdad de Sobolev, también sabemos que $u \in L^{p^ \ast }( \Omega )$ . Además, la ampliación $u$ para ser $0$ fuera de $\Omega$ Puedo suponer que $u \in W_0^{1,p}( \mathbb {R}^n) \cap L^{p^ \ast }( \mathbb {R}^n)$ .

Considere ahora $$\sup_ {y \in \mathbb {R}^n} \int_ {B(y,r)} \lvert u \rvert ^{p^ \ast }$$ que sabemos que es finito desde $u \in L^{p^ \ast }( \mathbb {R}^n)$ . En primer lugar, pude demostrar que el supremo se logra en algún punto fijo $y \in\mathbb {R}^n$ . Puedo mostrar esto tomando una secuencia $(y_m)$ considerando una sub-secuencia convergente y luego aplicando el teorema de la convergencia dominada.

¿Es posible mostrar que el supremo se logra en algún momento $y \in \Omega$ ?

Parece intuitivo que así sea, pero no estoy seguro de cómo probarlo.

Answer 1

Para $r$ fijo, aquí hay un contraejemplo. Considere cualquier $u$ con el apoyo $\Omega = \{ 1 \le |x| \le 2\}$ y establecer $r=2$ . Entonces el maximizador está en $x=0 \notin\Omega$ ya que cualquier desviación significa que se pierde parte del apoyo. Parecería entonces que necesitas afinar $r$ basado en $\Omega$ para un resultado positivo.