¿Es verdadera la afirmación no probada / vacía?

Question

Me topé con esta lógica de la pregunta en una clase de matemáticas recientemente.

Mi profesor nos dijo que una declaración de que no está probado y/o está vacía, es cierto. Por ejemplo, que si se me declaró que: "si el equipo gana el juego, me voy a comprar una coca-cola", y entonces el equipo B va y gana el juego, el enunciado sería verdadero, independiente de la compra de una coca-cola. Podría alguien explicar en detalle cómo este puede ser el caso, y por qué?

Surgió como una explicación de por qué el vacío es un abierto y un conjunto cerrado.

Answer 1

La respuesta corta es, esto es verdad porque hemos adoptado la resolución por la convención, ya que, para todos sus fallas, haciendo lo que más se acerca a la que se asemeja a la idea intuitiva de 'si-entonces', mientras que tener un claro valor lógico en todas las situaciones matemáticas. A ver qué me estoy refiriendo a, considere la siguiente "tabla de verdad':

A | B | A-->B

T | T | T

T | F | F

F | T | *

F | F | *

Esto ilustra la verdad acerca de nuestra idea intuitiva de "si-entonces" - Cuando Una es verdadera, B tiene que ser cierto, y cuando Una es falsa no nos importa. Pero la lógica matemática no permite 'we don't care', por lo que tenemos que reemplazar el '*'-s con relación a la verdad-valores. Entonces la pregunta es: ¿cómo podemos hacerlo y todavía coincidir con nuestra intuición? Es claro que hay cuatro posibles soluciones:

A | B | 1 | 2 | 3 | 4

T | T | T | T | T | T

T | F | F | F | F | F

F | T | F | F | T | T

F | F | F | T | F | T

Si elegimos (1) para significar 'si-entonces', estamos diciendo "si a es cierto, entonces B es cierto "significa" a y B son ambas verdaderas', y también somos lo que implica 'si B es cierto, entonces a es verdadera'. Pero evidentemente, esto no es lo que queremos: Cuando tenemos tanto 'A-->B' y 'C-->B', esto sería decir "a, B, y C' son todas verdaderas"; esto no funciona porque a veces necesitamos a y C son mutuamente exclusivos (ejemplo típico: un número de la teoría de la prueba-por-casos, cuando significa 'n' y C significa 'n es impar'). Un problema similar se produce si elegimos (2), que dice: "a y B son ambas verdaderas o ambas falsas'. Si elegimos (3) para significar 'si-entonces' nos está diciendo "si a es cierto, entonces B es cierto" significa simplemente 'B es cierto", INDEPENDIENTEMENTE de A. Claramente que no trabajo - en general, queremos que B a depender de alguna manera. Así que todo lo que está a la izquierda (4).

Answer 2

¿Entiende usted que el condicional $p\rightarrow q$ es verdadera siempre que $p$ es falso, o cuando $q$ es cierto?

Creo que la mejor manera de representar la verdad de una condición de $p\rightarrow q$ es saber que $p\rightarrow q$ ES VERDAD, a MENOS que ambos $p$ es cierto, y $q$ es falso.

Con dos variables, $p, q,$ hay cuatro posibles asignaciones de valores de verdad, cada uno representado a continuación.

Por ejemplo, digamos que usted promete $p$: = Equipo gana el juego. Deje $q$: = "me la voy a comprar una Coca-cola."

Primero de todo, nunca se hizo ninguna promesa sobre lo que me va a dar si el Equipo a pierde. Así que si $\lnot p$, yo no puedo acusar a usted de hacer una declaración falsa, si me das una Coca-cola o no. Y en el caso de que Un equipo gana y me compre una Coca-cola, bien, has hecho bien en su promesa.

La única forma que había de ser la mentira es si el equipo a gana ($p$), y no me compre una Coca-cola $(\lnot q).$

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Otro ejemplo clásico.

El conjunto vacío es un subconjunto de todo conjunto.

Vamos a mirar simplemente algunas conjunto arbitrario $A$: Si cualquier conjunto $B$ es un subconjunto de a $A$, entonces sabemos por definición que $b\in B \rightarrow b \in A$. Supongamos ahora que $B =\varnothing$. Bien, $\varnothing \subseteq A$ porque si $b \in \varnothing,$$b\in A$. Bueno, no hay ninguna $b\in \varnothing$, pero la definición aún se mantiene porque "$b \in \varnothing$ es falso, lo que hace que $b \in \varnothing \rightarrow b \in A$ verdadero

Answer 3

Sin entrar en un tratamiento formal, lo que quiere decir tu maestro es:

La declaración $$\forall x\in X: A (x) \Rightarrow B (x)$$ is true if $A (x)$ is false for all $x \ en X$ , no matter what $B$ es.

El hecho de que su maestro tenga razón se deduce de la DEFINICIÓN de la flecha derecha$\Rightarrow$, es decir, se deduce del hecho de que la tabla de verdad de este símbolo siempre asigna "Verdadero" cuando el primer argumento es falso.

No hay afirmaciones epistemológicas detrás de lo que dijo tu maestro.

Answer 4

La idea general en la que usted está dando a entender es que de la probabilidad condicional, la cual establece que para los dos eventos, $P$$Q$, la declaración de $P$ implica $Q$ está dado por

$$(P \implies Q) \iff (Q \lor \lnot P),$$

donde "$\implies$" denota la implicación del operador.

Para entender mejor esto, considere las siguientes oportuna escenario. Una de los políticos de los estados: $$\textrm{"If } \underbrace{\textrm{I win the elections, }}_{\textrm{Statement } P} \textrm{then } \underbrace{\textrm{taxes will go down"}}_{\textrm{Statement } Q}.$$ This statement would have a truth value of $T$ is he/she does not lie, and a truth value of $F$ si él/ella hace mentira.

• Si $P$$T$, e $Q$$T$, luego el político no ha mentido; fue elegido, y los impuestos se vino abajo. Por lo tanto $P \implies Q$$T$.
• Si $P$$T$, e $Q$$F$, luego el político ha mentido; fue elegido, y los impuestos no bajan. Por lo tanto $P \implies Q$ $F$
• Si $P$$F$, independientemente de lo $Q$ es, el político no puede mentir; él/ella nunca fue elegido, y por lo que nunca tuvo la oportunidad de mentira. Por lo tanto $P \implies Q$$T$.