Cuando se trata de cuadráticas, completar el cuadrado es omnipresente, y puedo resumir mi interpretación en la fórmula:
$$x^2-2ax=(x-a)^2-a^2$$
Asimismo, al trabajar con círculos (y, en general, con secciones cónicas) en $\mathbb{R}^2$ Es habitual completar el cuadrado de forma similar. A veces se pasa a $\mathbb{C}$ por ejemplo, al calcular las imágenes de los círculos bajo los mapas de Mobius. En estas circunstancias, la fórmula equivalente se manifiesta típicamente en la forma:
$$\vert z \vert^2-a\bar z-\bar a z=\vert z-a \vert ^2 - \vert a \vert^2$$
Además, cuando se trata de hipérbolas en 2D, así como a menudo en la teoría de los números, hay un tipo de reordenamiento similar que surge y puede ser bastante útil - no sé una gran manera de describirlo sin un ejemplo, pero considere:
$$xy+ax+by=(x+b)(y+a)-ba$$
Cada uno de ellos funciona efectivamente sobre la base de escribir una expresión algebraica como una forma canónica menos una constante. Los he encontrado útiles en conjunto, y quería preguntar:
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¿Sería justo/entendido referirse a la segunda de estas técnicas como completar el cuadrado? Estoy seguro de que refleja los mismos principios que completar el cuadrado en 2D, pero no estoy seguro de si es estándar referirse a ella de esta manera.
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Para la tercera de estas técnicas, ¿existe un nombre aceptado / una forma estándar de referirse a ella? En cierto modo, la considero una sucesora espiritual de la técnica de completar el cuadrado, pero como no hay ningún cuadrado en juego, me parece una locura. ¿Tal vez completar el rectángulo?
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¿Existen otras técnicas comunes que sean comparables a las mencionadas anteriormente, y hay un nombre colectivo para este tipo de enfoque? En términos muy generales, supongo que podría llamarse poner las expresiones en una forma canónica, pero esto no capta realmente la esencia de por qué son especiales/distinguidas.
