Yo no puedo ver por qué tenemos $M$ a ser orientable en la prueba de Hatcher, es decir, cuando necesitamos la orientación asigna a cada $x\in M$ un generador de $H_n(M|x;R)? I wonder if $M$ es no orientable donde va a ir mal en la prueba?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Una orientación de $M$ se utiliza para definir el mapa de $D_M$; usted no puede probar que un mapa es un isomorfismo, sin definir lo que es el mapa! El camino de $D_M$ se define en términos de una orientación que se utiliza repetidamente en la prueba del Lema 3.36 y de las pruebas que han demostrado. En primer lugar, usted necesita saber que $D_M$ formas conmutativa diagramas con los mapas de $D_U$ para cada conjunto abierto $U$ (para ello se utiliza el hecho de que $D_U$ es definido por el uso de la misma orientación como $D_M$, se limita a $U$). Segundo, en el paso (1) usted necesita saber que en el caso de $M=\mathbb{R}^n$, la definición de $D_M$ es tal que se puede calcular explícitamente que se trata de un isomorfismo (para ello se utiliza el hecho de que $D_M$ se define en términos de la nivelación con clases fundamentales, y se puede calcular explícitamente la clase fundamental y lo tapado con que lo hace para $(\Delta^n,\partial\Delta^n)$).
