El título plantea mi pregunta: ¿qué aspecto de lo cerrado lo hace atractivo para la optimización?
Considera estos problemas:
$$\begin{cases} \max x \\ \text{s.t.}\\ x \in (0,1) \end{cases}, \begin{cases} \max x \\ \text{s.t.}\\ x \in [0,1] \end{cases}.$$
La primera no tiene solución, mientras que la segunda sí (exactamente, $x=1$ ).
Resumiendo, es mejor tener un conjunto cerrado ya que a veces el valor óptimo está en la frontera de un conjunto. Un conjunto cerrado incluye su frontera. De este modo, no se pierden soluciones.
¡Al derecho, gracias por su respuesta! Entonces, ¿tiene algo que ver con la singularidad de la solución? ¿Hay algo más? O es este el único aspecto que lo hace atractivo.
@Blackjaguar En general, cuando quieres resolver un problema, puedes plantear tu problema de forma que sepas que hay una solución, no importa lo difícil que sea encontrarla. También puedes echar un vistazo al teorema de Weierstrass.
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Los conjuntos abiertos sólo pueden tener un supremio y un ínfimo, pero no un máximo o un mínimo.