Si $G$ es un grupo finito hay una bijección entre las clases de conjugación y las representaciones irreductibles pero no está claro cómo hacerlo en la práctica. El único caso es que $S_n$ donde todo es realmente explícito, e indexado por particiones de $n$ .
Sin embargo, fue un gran avance descubrir que uno puede realizar tal bijección geométricamente, por la teoría de Springer. Las representaciones de un grupo general de Weyl también pueden ser construidas usando métodos geométricos similares, pero en este caso ya no existe una bijección natural (como Stephen mencionó en los comentarios).
La idea es que hay una acción geométrica del grupo Weyl sobre la cohomología de la Fibras de Springer es decir, las fibras de la resolución Springer del cono nilpotente. Hasta donde yo sé, la gente no estudia intensamente la teoría de la representación de los grupos de Weyl hoy en día, pero este fue el punto de partida de una teoría realmente fructífera que ayudó a comprender muchas álgebras (por ejemplo, la construcción también funciona para las álgebras envolventes universales y su versión afín) utilizando algunas construcciones geométricas. Una referencia para ello es el libro de Chriss y Ginzburg, "Geometría compleja y teoría de la representación".
También como se menciona en el comentario de Tobias Kildetoft, las variaciones y deformaciones de $ \Bbb C[W]$ todavía se estudian, por ejemplo las álgebras Hecke, las álgebras racionales Cherednik, ...
