Convergencia o divergencia de $ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n}}{n^{3/2}} $ : ¿Cómo argumentar?

Question

¿La serie $$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n}}{n^{3/2}} $$ ¿convergen o divergen?

Mi intento fue escribir la serie como $$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n}}{n^{3/2}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n+2}}{n^{3/2}}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} $$

La primera serie puede ser estimada desde abajo por la serie armónica: $$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n+2}}{n^{3/2}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n+2)^{1/2}}{n^{1/2}\cdot n}\geqslant\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}=\infty $$ y por lo tanto diverge.

La segunda serie es la serie armónica y, por tanto, diverge.

Ahora, no estoy seguro de lo que hace el conjunto.

Answer 1

Tu intento es erróneo porque no puedes separar la serie en una diferencia de series divergentes. Tienes una forma indeterminada $\infty - \infty$ .

Podrías intentar racionalizar el numerador: $$(\sqrt{n+2}-\sqrt{n})\frac{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}$$ Entonces la serie se convierte en

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{(\sqrt{n+2}+\sqrt{n})n^{3/2}}$$

Puede utilizar la prueba de comparación para concluir.

Answer 2

HINT

Podemos utilizar más eficazmente esa

$$\sqrt{n+2}-\sqrt{n}=\frac{2}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}$$

Answer 3

Puedes utilizar la estimación: $$\frac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n}}{n^{3/2}}<\frac1{n^2} \iff \sqrt{n}(\sqrt{n+2}-\sqrt{n})<1 \iff \\ \sqrt{n(n+2)}<n+1 \iff n^2+2n<n^2+2n+1.$$

Answer 4

Reescritura :

$2=(n+2) -n=$

$(\sqrt{n+2}-√n)(\sqrt{n+2}+√n) \gt$

$\sqrt{n+2}-√n$ ya que

$\sqrt{n+2}+√n >1$ .

Por lo tanto,

$\dfrac{\sqrt{n+2}-√n}{n^{3/2}} \lt \dfrac{2}{n^{3/2}}.$

Utilice la prueba de comparación.

Answer 5

Tenga en cuenta que $\sqrt{n+2}-\sqrt n\to 0$ como $n\to\infty$ Así que $\;\dfrac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n}}{n^{3/2}}=o\biggl(\dfrac 1{n^{3/2}}\biggr)$ y esta última serie converge.