En$\mathbf{Top}$, si$A$ es un subespacio de$X$ y$f: A \to Y$ es un mapeo continuo, entonces$Y$ se incrusta en$X \cup_f Y$. Me pregunto si esto se generaliza a una categoría arbitraria.
Considere la expulsión de un cospan$Y \leftarrow A \hookrightarrow X$, donde la última flecha es un monomorfismo regular. ¿Es la flecha paralela al monomorfismo regular un monomorfismo regular?
La afirmación de falla en $\textbf{Top}^\textrm{op}$, encontrareis. Deje $A = \{ a, b, c, d \}$ con abrir conjuntos de $$\emptyset, \{ a \}, \{ b \}, \{ a, b \}, \{ a, c \}, \{ b, d \}, \{ a, b, c \}, \{ a, b ,d \}, \{ a, b, c, d \}$$ deje $B = \{ 0, 1, 2 \}$ con abrir conjuntos de $$\emptyset, \{ 0 \}, \{ 0, 1 \}, \{ 0, 1, 2 \}$$ y deje $C = \{ 0, 2 \}$ ser topologised como un subespacio de $B$. Deje $p : A \to B$ ser el mapa continuo dado por $$p(a) = 0, p(b) = 1, p(c) = 1, p(d) = 2$$ y deje $i : C \to B$ ser la inclusión. No es difícil ver que $p$ es un cociente de mapa, por lo que es un regular epimorphism; ahora considere la posibilidad de la retirada de $p$ a lo largo de $i$. Este es el mapa $q : D \to C$ donde $D = \{ a, d \}$ es un subespacio discreto de $A$, e $q$ es, sin duda surjective (por lo que es una epimorphism) sino $q$ no es un cociente de mapa (por lo tanto no regular epimorphism). Por lo tanto, pullbacks en $\textbf{Top}$ no conservar regular epimorphisms; equivalentemente, pushouts en $\textbf{Top}^\textrm{op}$ no conservar regular monomorphisms.
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