Convergente o Divergente de la Secuencia: $n^3\sin\left(\frac{5}{n^3}\right)$

Question

$$n^{3}\sin\left(\frac{5}{n^{3}}\right)$$ Necesito calcular el límite si converge o el estado de si va a $$ \pm\infty $$ o, simplemente, "divergente" si se aleja, pero no hasta el infinito.

Buscando en la secuencia puedo decir que a medida que n tiende a infinito $$n^{3} \to \infty $$ por lo que es divergente y $$\sin\left(\frac{5}{n^{3}}\right)$$ es convergente desde el uso de la serie p de la prueba de comparación con $$\frac{1}{n^{3}}$$ así que una divergente la serie multiplicando convergente la serie se hace un divergentes de la serie ? O porque $$\frac{5}{n^{3}} $$ is approaching $0$ as $n$ increases and the $\pecado(0) = 0$ would the whole series converges to $0$?

Answer 1

$$\lim_{n\to\infty}n^3\sin\frac{5}{n^3}=5\lim_{n\to\infty}\frac{\sin\frac{5}{n^3}}{\frac{5}{n^3}}=5\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=5$$

Answer 2

Lo que usted debe utilizar esta el hecho de que

$$\sin(x)\sim_{x\to 0} x.$$

Así

$$\sin(5/n^3)\sim_{n\to \infty} 5/n^3$$

desde $5/n^3\to 0$ al $n\to \infty$.

Por lo $$n^3\sin(5/n^3)\sim_{n\to\infty}n^3\frac 5{n^3}=5.$$

Finalmente se puede concluir que esta secuencia converge a$5$$n\to \pm\infty$.

Answer 3

escriba su término en la forma $$5\frac{\sin\left(\frac{5}{n^3}\right)}{\frac{5}{n^3}}$$