Integración en términos de x

Question

Evaluación de la integral $$\int\frac{1}{\sqrt{x^{2} +9}}dx$$ así que uso tan sustitución
$$ x=3\tan t ~\mbox{and}~ dx = 3\sec^{2} t ~dt $$ después de sustituir todo y smplifying im izquierda con $$\int \sec t ~dt$$ pero necesito tener esta respuesta en términos de x, sé que $$ \sec t = \sqrt{1 + \tan^{2}t}$$ y $$\tan t = \frac{x}{3} $$ ¿entonces sólo conecto $$\sqrt{1 + (\frac{x}{3})^{2}}$$ solo que no estoy seguro de los pasos finales que necesito para conseguir la integral.

Answer 1

Cuando llegue a la integral $$\int \sec t ~dt$$ hay que integrar $$\int \sec t ~dt = \ln |\sec t + \tan t| + C$$ Ahora bien, puesto que $\tan t = \frac{x}{3}$ entonces $\cos t = \frac{3}{\sqrt{x^2+9}}$ y así $\sec t = \frac{\sqrt{x^2+9}}{3}$ . Entonces $$\int \sec t ~dt = \ln |\sec t + \tan t| + C = \ln \left|\frac{\sqrt{x^2+9}}{3} + \frac{x}{3} \right| + C$$

Answer 2

$$\int \sec t \ dt = \int\sec t\cdot\frac{\sec t + \tan t}{\sec t + \tan t}\ dt$$

Y luego sustituir $u = \sec t + \tan t$ .

Answer 3

Pista:

$$\int \frac{\mathrm dt}{\sqrt{t^2+1}}=\operatorname{arg\,sh}t=\ln(t+\sqrt{t^2+1}).$$