Yo estoy empezando a aprender acerca de los espacios topológicos, y en mis notas un par de ejemplos de espacios topológicos son dadas.
Uno de ellos es $\tau = \{\emptyset, \{a\}, \{a,b\}\}$ en el conjunto de $X = \{a,b\}$. Puedo ver claramente cómo este cumple con mis definición de una topología, es decir, que
- $\emptyset, X \in T$;
- $\bigcup_{\lambda \in \Lambda} T_{\lambda} \in \tau$ siempre $\{T_{\lambda}\}_{\lambda \in \Lambda} \subseteq \tau$;
- $\bigcap_{k=1}^{n} T_{k} \in \tau$ siempre $\{T_{k}\}_{k=1}^{n} \subseteq \tau$.
Mi pregunta: me pregunto si esto podría ser una topología inducida por algunos métrica $d$$X$, sin embargo. O, más en general, ¿cómo se podría determinar si una determinada topología es posiblemente inducida por la métrica.
He visto que la topología discreta en cualquier $X \neq \emptyset$ $\tau = \mathcal{P}(X)$ es inducida por la métrica discreta $\mu$, por ejemplo, lo que ha motivado mi pregunta de si algunas de las otras topologías introducido puede ser métrica inducida por así. Traté de pensar en alguna métrica que podría inducir a mi por encima de la topología, pero han sido hasta la fecha con éxito, pero también no está seguro de cómo yo podría demostrar que uno no puede existir.
