¿Cuándo debe uno considerar el laplaciano como una función delta de dirac?

Question

Si tenemos en cuenta que

$$\nabla^2\left(\frac{1}{r}\right) = -4\pi\delta(\vec{r})$$

podemos explicar la dirac-función delta de aquí a través de los resultados de la ley de Gauss $$\int_V \nabla^2\left(\frac{1}{r}\right) = \int_S\nabla\left(\frac{1}{r}\right)\cdot d\vec{a} = \int_S \frac{-\hat{r}}{r^2}\cdot d\vec{a} = -4\pi\frac{R^2}{r^2} $$

donde la integral de superficie se ha tomado sobre una esfera de radio $R$. Ahora, si decimos $r>0$$R\to 0$, obtenemos $$\int_V \nabla^2\left(\frac{1}{r}\right) = 0. $$ Además, si fijamos $r=R$ y enviar $R\to0$ tenemos $$\int_V \nabla^2\left(\frac{1}{r}\right) = -4\pi $$

Así, hemos demostrado la validez de la primera ecuación. Sin embargo, si tuviéramos que calcular directamente el Laplaciano de $\frac 1r$ obtenemos $$\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{r}\right)\right) = 0$$

Así que parece que las -$4\pi\delta(\vec{r})$ de alguna manera ha sido descuidado por el cálculo directo. Dicho esto, lo que sobre el caso donde tenemos, para algunos $\epsilon\in\mathbb{R} > 0$

$$\nabla^2\left(\frac{1}{r^\epsilon}\right) = \frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{r^\epsilon}\right)\right) = \frac{(\epsilon-1)\epsilon}{r^{\epsilon+2}}$$

Ha sido también una función delta de dirac descuidado aquí? En general, cuando se hace en la necesidad de considerar las contribuciones debido a la dirac-función delta?

Answer 1

Lo $\nabla^2\left(\frac{1}{r}\right) = -4\pi\delta(\vec{r})$ significa que, por la definición de $\delta$, es que $\int\frac{1}{r}\,\nabla^2\phi\,dV=-4\pi\phi(0)$ para cualquier función suave $\phi$ con soporte compacto. (Esto se comprueba fácilmente usando el teorema de Gauss y la identidad de $f\nabla^2g-g\nabla^2 f=\nabla\cdot(f\nabla g-g\nabla f)$; la verificación por parte de Gauss la ley que usted menciona no es suficiente - pensar acerca de $\nabla^2(x/r^3)$).

Como para$\nabla^2r^{-\epsilon}$: $r^{-\epsilon}$ es localmente integrable para $\epsilon<3$, por lo que sólo en este caso se trata de un bien definido de distribución (y por lo tanto $r^{-2-\epsilon}$ es una bien definida la distribución de $\epsilon<1$). Puede ser extendida a una distribución también para $\epsilon\geq3$, pero la extensión no es única - $\delta$ y sus derivados. Si exigimos que la distribución sea uniforme y homogénea, que serán únicos si $\epsilon$ no es un número entero. Si se requiere que sea invariante w.r.t. todas las rotaciones, que será exclusivo hasta los términos de $(\nabla^2)^k\delta$ (que es homogénea de grado $-3-2k$). Así, mientras que $r^{-\epsilon}$ es exclusivamente especificados por estas dos condiciones para la mayoría de las $\epsilon$'s, falla por $\epsilon$ un entero impar $\geq 3$.

Para resumir, hay que tener un poquito de cuidado al trabajar con distribuciones.

Answer 2

Mientras que para $r \ne 0$, $\nabla^2\left(\frac1{4\pi r}\right)=0$, no se ha definido en $r=0$. En la introducción de la idea de la Delta de Dirac, necesitamos proporcionar una interpretación rigurosa.

En ESTA RESPUESTA, me mostró cómo interpretar la expresión

$$\nabla^2\left(\frac{1}{ r}\right)=-4\pi \delta(0)$$

en términos de una regularización de la Delta de Dirac. En particular, se me mostró que, para cualquier función de prueba de $\phi(\vec r)$, la regularización $\vec \psi(\vec r;a)=\frac{\vec r}{(r^2+a^2)^{3/2}}$, de la Delta de Dirac satisface

$$\lim_{a\to 0}\int_V \nabla \cdot \vec \psi(\vec r;a) \phi(\vec r)dV=\lim_{a\to 0}\int_V \nabla^2 \left(\frac{-1}{\sqrt{r^2+a^2}}\right) \phi(\vec r)dV= \begin{cases}4\pi \phi(0)&\vec r\in V\\\\ 0&,\vec r \,\,\text{elsewhere} \end{casos}$$

Tenga en cuenta que

$$\nabla \cdot \vec \psi(\vec r;a)=\nabla^2\left(\frac{-1}{\sqrt{r^2+a^2}}\right)=\frac{3a^2}{(r^2+a^2)^{5/2}}$$

está perfectamente definido para todos los $r$$a\ne 0$. Y para $r\ne 0$, tenemos

$$\begin{align} \lim_{a\to 0}\vec \psi(\vec r;a)&=\lim_{a\to 0}\nabla\left(\frac{-1}{\sqrt{r^2+a^2}}\right)\\\\ &=-\nabla\left(\frac1r\right) \end{align}$$

Por lo tanto, podemos interpretar la Delta de Dirac como

$$\delta(\vec r)=-\nabla^2\left(\frac1{4\pi r}\right)$$

en el sentido de que

$$\begin{align} \lim_{a\to 0}\int_V \nabla \cdot \vec \psi(\vec r;a)\,\phi(\vec r)\,dV&=\lim_{a\to 0}\int_V \nabla^2\left(\frac{-1}{\sqrt{r^2+a^2}}\right)\,\phi(\vec r) \,dV\\\\ &=4\pi \phi(0) \end{align}$$

cuando el origen está contenida en $V$.