El uso de momento angular en el complejo de coordenadas

Question

Así que, dado que el momento angular del operador:

$$L_{z} = - ih\biggl(x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y} - y \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\biggr)$$

Sé cómo escribir estos en términos de coordenadas polares (obviamente). Pero dicen que me quieren trabajar en el complejo de coordenadas, de tal manera que:

\begin{align} z &= x + i y & z^{*} &= x - iy \end{align}

y

\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} &= \frac{1}{2} \biggl( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} - i \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\biggr) & \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z^{*}} = \frac{1}{2} \biggl( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} + i \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\biggr) \end{align}

Sé que esto debería ser posible (¿verdad?) pero no importa cómo me salpican los términos complejos, sigo recibiendo $x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ $y \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}$ términos que no cancela y no debería estar allí. Mi libro de texto (Pringe) utiliza estas sustituciones en algunos problemas, pero no explica muy bien CÓMO uno va sobre la ejecución de ellos.

Es realmente posible trabajar en estas coordenadas? O es sólo una notación que nadie usa?

Answer 1

Si usted desea cambiar de $x,y$$z, z^*$, es necesario invertir sus relaciones porque la dirección opuesta a la que se necesita. A la inversa mapas $$ x = \frac{z+z^*}2 \quad y = \frac{z-z^*}{2i}$$ y $$\frac{\partial}{\partial x}\equiv\partial_x = \frac{\partial }{\partial z} + \frac{\partial }{ \partial z^*}, \quad \frac{\partial }{ \partial y}\equiv \partial_y = i(\frac{\partial }{ \partial_z} -\frac{ \partial }{ \partial z^*}) $$ Tenga en cuenta que uno tiene uso de las derivadas parciales, porque estamos hablando de funciones de varias variables. Al sustituir las identidades anteriormente en la definición de momento angular (tenga en cuenta que es $\hbar$, manejadores, y no $h$ más), obtenemos $$ L_z = -i\hbar (x \partial_y - y\partial _x) =-\frac{i\hbar}{2} (2iz \partial_z-2iz^*\partial_{z^*}) = \hbar(z\partial_z - z^*\partial_{z^*}) $$ Los factores de $i$ $2$ cancelar, muy similar a los términos de $z\partial_{z^*}$ y su complejo conjugado $z^*\partial_z$. El último tiene que cancelar debido a $L_z$ es simétrica bajo rotaciones alrededor de la $z$-eje, de manera que el $L_z$ $U(1)$ los cargos tienen que cancelar en todos los términos. El "cargo" de $z$ exactamente cancela con carga opuesta de $\partial / \partial z$ (y lo mismo para el conjugado complejo del término), pero la mezcla de términos no.

También tenga en cuenta que no hay prefactor $i$ en la fórmula de la $L_z$ en términos de $z,z^*$ y sus derivados. Eso está bien porque el $L_z=m$ funciones de onda se comportan como $z^m$ o $z^{*-m}$ o algún compromiso, y uno puede elegir una $m$ factor (valor propio), diferenciando $z^m$ con respecto al $z$, consiguiendo $mz^{m-1}$, y multiplicando por $z$ conseguir $mz^m$. El $i$ está oculto en $z=x+iy$, la fase relativa de $x,y$.