Hay tantas real de campos cerrados de un determinado cardinalidad como creo que hay?

Question

Deje $\kappa$ ser un infinito cardenal. Entonces existe al menos un real-campo cerrado de cardinalidad $\kappa$ (por ejemplo, Lowenheim-Skolem; o bien, comenzar con una función de campo de más de $\mathbb{Q}$ $\kappa$ indeterminates, elegir un orden y un real de cierre).

Pero yo creo que hay muchas más, es decir: $2^{\kappa}$ pares nonisomorphic real de campos cerrados de cardinalidad $\kappa$. Este es igual al número de operaciones binarias en un conjunto de cardinalidad infinita $\kappa$, por lo que es el mayor número concebible.

Como para la motivación, ¿qué puedo decirte, matemática curiosidad es una cosa muy poderosa. Una aplicación de esto que me parece interesante es que luego habría $2^{2^{\aleph_0}}$ clases conjugacy de orden $2$ subgrupos de la automorphism grupo de el campo de $\mathbb{C}$.

Anexo: puntos de Bonificación (por así decirlo) si usted puede dar un modelo general de la teoría de criterio para una teoría para tener el mayor número posible de modelos que produce este resultado como un caso especial.

Answer 1

Real de campos cerrados, esto es bastante fácil.

En primer lugar demostrar que para cualquier infinita cardenal k hay 2^k nonisomorphic lineal órdenes de cardinalidad k

Por ejemplo, si X es un subconjunto de k vamos a A_x ser Q+2+Q, si x es en k y P+3+Q si x no está en X. Vamos a L_X ser la suma de los A_x de x en k. Es fácil ver que L_X es isomorfo a L_Y si y sólo si X=Y.

Si F es una verdadera cerrado y x y y son infinitos elemento de R, decimos que x e y son comparable si y sólo si existen números naturales m y n tales que x es menor que y^m e y es menor que x^n. El orden de R induce un orden lineal L_R de la comparabilidad de las clases, a la cual llamamos la escalera de R.

Supongamos que L es un orden lineal. Sea F el real números algebraicos. Vamos a R_L ser el verdadero cierre de la trascendental extensión de la real algebraica de los números F(x_l:l\L) ordenados de manera tal que si i es menor que j, a continuación, x_i^n es menor que x_j para todo n. No es difícil mostrar que la escalera de R_L es isomorfo a L.

Por lo tanto, si empezamos con nonisomorphic órdenes a y B, a continuación, los campos R_A y R_B será nonisomorphic.

Answer 2

Hola Pete!

Ha habido una gran cantidad de estudio de este y otros problemas similares. Creo que Sela del teorema, de sus 1971 papel "El número de no-isomorfo modelos de un inestable de primer orden de la teoría" (Israel J. de Matemáticas) responde a su pregunta acerca de la verdadera campos cerrados en el positivo.

El mejor resultado en tales preguntas, que yo sepa es en el 2000 Anales de papel "La multitud de los espectros de teorías contables." por Hart, Hrushovski, Laskowski.

Para responder a la pregunta sobre bienes de campos cerrados específicamente (y algo con cautela ya que no soy un modelo-teórico):

La teoría de la real campos cerrados es un completo de primer orden de la teoría, con contables idioma. Es un inestable (una forma fácil de hecho, creo, y se explica mejor en la wikipedia que me podría explicar) la teoría de bien. Por lo tanto Sela, el resultado se aplica, y el enlazado $2^\kappa$ se realiza como supuso.

Los puntos de bonificación debe ir a Sela (y tal vez también a Hart, Hrushovski, Laskowski, cuyo trabajo se menciona el resultado de Sela y prueba otras cosas) para demostrar que esta enlazado se dio cuenta (por innumerables cardenales), excepto para las teorías de $T$ que tienen todas de las siguientes propiedades:

1. $T$ tiene una infinidad de modelos.
2. $T$ es superstable.
3. $T$ ha prime modelos más pares.
4. $T$ no tiene las dimensiones de la propiedad de orden.

No tengo ni idea de lo que el cuarto de la propiedad de los medios. Pero hay un montón de no-superstable teorías a las que Sela del teorema se aplica, y, por tanto, que dan cuenta de su obligación (por innumerables cardenales).

Para los contables de cardinalidad, creo que todavía hay algunos problemas abiertos acerca de cómo muchos que no son isomorfos modelos pueden ser de una teoría dada, con cardinalidad $\aleph_0$.

Answer 3

En el caso contables, la cota de 2^ω se dio cuenta, ya que cualquier contables real-campo cerrado que contendrá los números racionales y de relleno en la mayoría de los countably muchos cortes en los racionales con LUBs. Pero eso lo podemos arreglar cualquier corte es ocupado por un real cerrada subcuerpo de R que contienen la real. Así que debe de ser de 2^ω muchos que no son isomorfos countaable real de campos cerrados.

En el caso general, debido a que los modelos tienen una orden, usted puede fácilmente hacer este fin de tener diferentes cofinalities, por la construcción de la escuela primaria cadenas de diferentes longitudes. Es decir, sólo tiene que utilizar su Lowenheim Skolem de construcción para agregar otro punto en la parte superior del modelo anterior, y continuar para δ pasos. Esto va a producir un elemental extensión de tamaño κ cuyo orden ha cofinality δ, para regular δ hasta κ. Así que esto le da muchos más modelos, pero no acaba de responder a sus 2^κ pregunta. Me inclino a estar de acuerdo con usted y esperamos que debe ser el máximo número de todos los κ en general jardín.