Explicación de la fórmula para el entero de la secuencia con los números enteros se repite de acuerdo a polynom

Question

Tengo dos preguntas relativas a la OEIS secuencia A056556:

$m$ es repetido $\frac{1}{2}(m+1)(m+2)$ veces:

$$0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, ...$$

Fórmula: $a(n)=\lfloor x\rfloor$ donde x es la mayor, real) de la solución a $x^3+3x^2+2x-6n=0$

• ¿Por qué es que la fórmula correcta?
• Es posible derivar una fórmula para cualquier entero secuencia donde $m$ se repite de acuerdo a un polynom $p(m) = \sum_{i=0}^k c_i\ m^i$?

Answer 1

Vamos a estudiar la cúbico $\;P_n(x):=x^3+3x^2+2x-6n\,$

Su discriminante es dado por $\;\Delta=4\,(1-243\,n^2)\,$ y por lo tanto será negativo para $n>0$ :
$P_n(x)$ siempre tiene dos soluciones complejas conjugadas con parte real negativa y una real solución positiva de (el más grande).

Desde $\;P_n(x):=x(x+1)(x+2)-6\,n\ \ $ conseguiremos la solución trivial $x=m,\ m\in\mathbb{N}$ al $n$ es un "tetraédrica número de" A000292 es decir, cuando se $\,n=T(m):=\dfrac {m(m+1)(m+2)}6$.

Al $n$ es entre dos periodos consecutivos de números tetraédricos $T(m)$ $T(m+1)$ la mayor raíz de $x_0$ $P_n(x_0)=0\,$ todavía estará dado por $x_0=m_0$, pero con $m_0$ la real solución de $n=T(m_0)=\dfrac {m_0(m_0+1)(m_0+2)}6\,$ pertenecientes a $(m,m+1)$ y por lo tanto compruebe $\lfloor x_0\rfloor=m$.
(la función de $m\mapsto n=T(m)$ es positivo y sin problemas en aumento y por lo tanto la función inversa $n\mapsto m(n)=T^{-1}(n)\;$).

Se encontró que para $n$ $[T(m),T(m+1))\;$ la mayor raíz de $\;P_n(x):=x(x+1)(x+2)-6\,n\ \ $ verificado $\lfloor x\rfloor=m\,$ pero $[T(m),T(m+1))\;$ $T(m+1)-T(m)=\dfrac {(m+1)(m+2)(m+3)}6-\dfrac {m(m+1)(t+2)}6=\dfrac {(m+1)(m+2)}2$ elementos como deseaba con $\lfloor x\rfloor=m$.

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Este método puede claramente ser generalizado a otros polinomios de "ascendente factorial de tipo" : $x^{(n)}=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)\;$, pero puede ser más difícil de manejar, en el caso general (el "más grande de la raíz" parte y así sucesivamente...).
De todos modos un buen punto de partida para un polinomio $p$ siempre se debe buscar el polinomio $T$: $\;T(m+1)-T(m)=p(m)$ (o definir de forma recursiva de esta manera!).