Prueba usando inducción matemática: $1 \cdot 2 \cdot 3 + \ldots + n \cdot (n+1) \cdot (n+2) = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$

Question

Así que tengo la cosa fácil de hacer. Sin embargo, no estoy seguro de cómo ir sobre hacer el paso inductivo con una difícil prueba. :/

Declaración: $$ 1 \cdot 2 \cdot 3 + … + n \cdot (n+1) \cdot (n+ 2) = \frac{n \cdot (n + 1) \cdot (n + 2) \cdot (n +3)}{4} .$$

Base paso: $n = 1$: $$ 0 \cdot (0 + 1) \cdot (0 + 2) + 1 \cdot (1 + 1) \cdot (1 +2) = \frac{ 1 \cdot (1+ 1) \cdot (1 + 2) \cdot (1 + 3) }{4} .$$

$$ 0 \cdot (0 + 1) \cdot (0 + 2) +1 \cdot (1 + 1) \cdot (1 +2) = 0 + 6 = 6$$

$$ \frac{ 1 \cdot (1+ 1) \cdot (1 + 2) \cdot (1 + 3) }{4} = \frac{24}{ 4} = 6 .$$

$$6 = 6.$$

Inductivo paso:

$n = n + 1$

Answer 1

Recomendación 1. Nunca, nunca, escribe "$n=n+1$". Es simplemente injusto.

Recomendación 2. Es más fácil si el estado de el paso inductivo en dos partes: estado de la inducción de la hipótesis explícitamente, entonces el estado lo que usted necesita para probar.

(Recomendación 2 es mi recomendación más fuerte, especialmente si usted está comenzando inducción y están teniendo algunas dificultades; ayuda a organizar tus ideas, te ayuda a mantener recta lo que usted está asumiendo vs lo que quieres demostrar, ayuda a evitar la confusión entre el paso inductivo y el teorema como un todo. Es una tarea, tal vez, pero yo realmente no recomendamos hacerlo).

Recomendación 3. A menudo es útil para evitar la confusión diciendo que el inductivo paso con una letra diferente de lo que usted está tratando de demostrar, por lo que su "hipótesis de inducción" no confundirse con el teorema de ser probado; mediante una carta en la que no se utiliza para nada más puede ayudar. (También evita escribir cosas que dan horror a un entrenado matemático como "$n=n+1$"...) Aquí, la declaración de que estamos tratando de probar que utiliza $n$ para la variable y nada más. Para evitar caer en la confusión, el uso de $k$ por la hipótesis de inducción y $k+1$ por lo que usted necesita para probar la hipótesis de inducción.

Esto es puramente estético, que desempeña ninguna función matemática. Es sólo una manera para evitar posibles confusiones, y nada más.

Aquí, intente esto:

Inductivo paso.

Inducción de la hipótesis: El resultado se mantiene para $k$. Es decir, asumimos que:

$$(1)(2)(3) + (2)(3)(4) + \cdots + (k)(k+1)(k+2) = \frac{k(k+1)(k+2)(k+3)}{4}$$ es cierto.

Para ser probado: El resultado se mantiene para $k+1$; es decir, debemos probar que:

$$\small (1)(2)(3) + (2)(3)(4) + \cdots + (k+1)\bigl((k+1)+1\bigr)\bigl((k+1)+2\bigr) = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}{4}.$$ es cierto.

(El de arriba es lo que quiero decir por "estado de la inducción de la hipótesis explícitamente, entonces el estado lo que usted necesita para probarlo)

Bueno vamos a tratar de demostrar que el segundo destacó afirmación es verdadera. Con la inducción, queremos traer a la Inducción de la Hipótesis en juego de alguna manera; por lo general, tratando de pensar en la $k+1$ caso como "hacer la $k$-paso y, a continuación, hacer algo más"; entonces podemos usar la inducción de hipótesis para simplificar el "$k$-paso". Esto funciona muy bien aquí.

Tenemos: $$(1)(2)(3) + (2)(3)(4) + \cdots + (k+1)(k+2)(k+3).$$ Con el fin de reflexionar acerca de ella como "la $k$-paso y, a continuación, un poco más", vamos a escribir el la $k$th sumando así como el $k+1$san: $$(1)(2)(3) + (2)(3)(4) + \cdots + k(k+1)(k+2)+ (k+1)(k+2)(k+3).$$ Ahora, podemos hacer la suma por primera adición de la primera $k$ sumandos y, a continuación, la adición de $(k+1)(k+2)(k+3)$ a consecuencia de eso; por lo que la totalidad de la suma que tenemos es igual a: $$ \Biggl( (1)(2)(3)+(2)(3)(4)+\cdots+k(k+1)(k+2)\Biggr) + (k+1)(k+2)(k+3).$$ Ahora, podemos darnos cuenta de que las cosas dentro de la gran paréntesis es precisamente la suma acerca de lo que la Hipótesis de Inducción nos dice algo. La Inducción de la Hipótesis dice que: $$(1)(2)(3) + (2)(3)(4) + \cdots + (k)(k+1)(k+2) = \frac{k(k+1)(k+2)(k+3)}{4},$$ así que puede sustituir a la primera expresión entre paréntesis con $\frac{k(k+1)(k+2)(k+3)}{4}$. Así que, en resumen, tenemos: $$\begin{align*} (1)(2)(3) &+ (2)(3)(4) + \cdots + k(k+1)(k+2)+ (k+1)(k+2)(k+3)\\ &=\Biggl( (1)(2)(3)+(2)(3)(4)+\cdots+k(k+1)(k+2)\Biggr) + (k+1)(k+2)(k+3)\\ &= \Biggl(\frac{k(k+1)(k+2)(k+3)}{4}\Biggr) + (k+1)(k+2)(k+3) \end{align*}$$ con la primera igualdad sólo por la asociatividad de la suma; y la segunda igualdad se justifica porque hemos aplicado la hipótesis de inducción.

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Es decir, hemos simplificado la suma de los primeros a $k$ términos a través de la utilización de la hipótesis de inducción.

Se puede tomar desde aquí?

Answer 2

Para el registro, la manera "correcta" para demostrar esta identidad es la combinatoria. Escrito de manera diferente (después de dividir ambos lados por $6$), se lee

$$ \sum_{k=3}^{n+2} \binom{k}{3} = \binom{n+3}{4}. $$

Esto es debido a que cada una de las $4$-subconjunto de $[n+3]$ se compone de su máximo $k+1$ $3$- subconjunto de $[k]$.

Answer 3

$$1 \cdot 2 \cdot 3 + \cdots + n(n+1)(n+2) = \frac{n(n + 1)(n + 2)(n + 3)}{4}.$$

Paso 1: (Debe demostrar que la relación es verdadera para $n=1$)

$$p(1): 1\cdot 2\cdot 3=\frac{1\cdot (1+1)\cdot (1+2)\cdot(1+3)}{4} \Rightarrow 1\cdot 2\cdot 3= 1\cdot 2\cdot 3.$$

El caso base es verdad.

Paso 2: Supongamos que thaat la relación dada es válida para $n=k$.

$$p(k): 1\cdot 2 \cdot 3 + \cdots + k(k+1)(k+2) = \frac{k(k + 1)(k + 2)(k +3)}{4}.$$

Paso 3: Ahora debemos demostrar que la relación es correcta para $n=k+1$.

$$p(k+1): 1\cdot 2 \cdot 3 + \cdots + (k+1)(k+2)(k+3) = \frac{(k+1)(k+2)(k + 3)(k +4)}{4}.$$

La anterior relación puede ser escrita:

$$\underbrace{1\cdot 2 \cdot 3 + \cdots + k(k+1)(k+2)} + (k+1)(k+2)(k+3) = \frac{(k+1)(k + 2)(k + 3)(k +4)}{4}.$$

El subrayado de partición de hecho es el paso 2. Así tenemos \begin{align*} & 1\cdot 2 \cdot 3 + \cdots + k(k+1)(k+2) + (k+1)(k+2)(k+3) \\ & = \frac{k(k + 1)(k + 2)(k +3)}{4} + (k+1)(k+2)(k+3) \\ & = \frac{k(k+1)(k+2)(k+3) + 4(k+1)(k+2)(k+3)}{4} \\ & = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}{4}. \end{align*}