Estoy tratando de entender cómo Goldstone modos de destruir la gama larga de la orden en 1D y 2D giro de celosía. Empecé con un giro de la cadena, el uso de 1D XY-modelo, que tiene simetría continua. $H=- \sum_{<i j>} J_{ij}\; \cos(\theta_i-\theta_j)$ sin campo externo.
Si no hay un giro de la onda en esta cadena, la mitad de una longitud de onda va a destruir la magnetización. El costo de la energía se $\Delta E=(-J\cos(\frac{\pi}{N})+J)N$. Como $N\rightarrow \infty$, $\Delta E\rightarrow 0$. Así que no importa cuán baja sea la temperatura, de este modo va a destruir magnetización espontánea.
Pero estoy teniendo problemas para entender en 2D. La forma más fácil de la construcción es simplemente para poner de $N$ cadenas, y el costo de la energía se multiplica por $N$: $\Delta E=(-J\cos(\frac{\pi}{N})+J)N^2$. Pero esta vez, como $N\rightarrow \infty$, $\Delta E\rightarrow \frac{\pi^2}{2}J$. Así que si $k_BT\ll\frac{\pi^2}{2}J$, de este modo no puede existir y magnetización espontánea que va a suceder. Traté de otras posibles construcciones, como un giro de la onda de ir en diagonal, lo que no funciona. También miré los vórtices en XY-modelo, el 4 vueltas en el centro del vórtice costo $4J$ y creo que suma más de otros bonos, el costo total será igual o más de $\frac{\pi^2}{2}J$. Estoy pensando si es posible destruir la magnetización con la energía de menos de $\frac{\pi^2}{2}J$. Pero Mermin–Wagner teorema de los estados Goldstone modo con el cero de la energía va a destruir el estado ordenado, por lo que debe haber algo que me estoy perdiendo. Traté de encontrar una ilustración de este modo, pero la búsqueda "2D giro de onda" o "2D Goldstone modo de" sólo devuelve los cálculos o experimentos. Entonces, me pregunto ¿a qué se parece, ¿cuál es la alineación de los giros exactamente?
