Cierre del Laplaciano en $L^2(\mathbb R^n)$

Question

Considerar el Laplaciano $\Delta$ como un operador en $L^2(\mathbb R^n)$, densamente definido en el subespacio $C^\infty_0(\mathbb R^n)$.

Mis preguntas son: Es el dominio de la clausura de la Laplaciano, en el sentido que se describe aquí: http://planetmath.org/?method=l2h&from=objects&name=ClosedOperator&op=getobj

igual exactamentea: $$\{u \in L^2(\mathbb R^n) | \Delta u \in L^2(\mathbb R^n)\}$$ (donde $\Delta$ se entiende aquí en el sentido distributivo)?

Mi 2da pregunta es: ¿alguno de los anteriores espacios (que espero que sean iguales) a su vez exactamente igual el espacio de Sobolev $W^{2,2}(\mathbb R^n)$ o es $W^{2,2}$ realidad estrictamente un espacio más pequeño?

Mi 3ª pregunta es: ¿alguno de los anteriores espacios de igualdad de la Friedrichs extensión? (Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Friedrichs_extension).

Lo siento por todas las preguntas! Yo soy ilimitado en mi confusión.

Answer 1

Para responder a su tercera pregunta, esta extensión es, de hecho, la Friedrichs extensión, ya que el cierre de $\Delta$ es auto-adjunto; que es, $\Delta$ es esencialmente auto-adjunto.

El Friedrichs extensión es cierto distinguido auto-adjunto de extensión de un operador simétrico que es, en cierto sentido, el "más pequeño". Sin embargo, no es difícil mostrar que si el cierre de un operador auto-adjunto, a continuación, es el único auto-adjunto de extensión. Así que el Friedrichs de extensión debe ser igual a la de cierre de $\Delta$.

Answer 2

Yo no sé mucho acerca de Friedrichs extensión, así que sólo voy a comentar los dos primeros.

Voy a bosquejar cómo probar que el espacio con el $2$ reemplazada por una $p$ es igual a que el espacio de Sobolev. Para $p = 2$ puedes usar Plancherel junto con nuestro amigo de la transformada de Fourier (¡inténtelo!).

El uso de la Riesz transformar uno puede demostrar (Véase Stein Singular integrales y la diferenciabilidad de las propiedades de funciones) que

Teorema. Supongamos $f \in C^2$ y supongamos que $f$ tiene soporte compacto. Entonces tenemos $$\left \|\frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_k} \right \|_p \leq A_p \|\Delta f\|_p \text{ for $1 < p < \infty$}$$

El uso de límites y así sucesivamente podemos demostrar que esto tiene para $W^{2, p}(\mathbf{R}^d)$ y con algunos inhibidores de la PDE trucos también de dominios.

De esto podemos obtener

Corolario. Para $1 < p < \infty$ tenemos, $$W^{2, p}(\mathbf{R}^d) = \{f \in L^p(\mathbf{R}^d): \Delta f \in L^p\}.$$

Esto es bastante fácil. Acaba de introducir en la norma $|\!|\!|f|\!|\!| = \|f\|_p + \|\Delta f\|_p$ y demostrar que esto es equivalente a la Sobolev norma. Para mostrar esto, podemos usar eso en $\mathbf R$ tenemos que $\|f'\|_p \lesssim \|f\|_p + \|f''\|_p$. Esto es sólo por integración por partes. Una fórmula similar se tiene para $\mathbf R^d$.