¿Bajo qué operación los números primos forman un grupo?

Question

Después de tomar Álgebra Moderna I Me preguntaba si podía encontrar una propiedad de grupo entre los primos. No tiene sentido. ¿Lo tiene?

De todos modos aquí está mi primera instancia

Para cualquier $p,q\in \mathscr{P}(prime)$ definir una multiplicación $*$ en $\mathscr{P}$ por $$p*q=\biggl \lfloor \frac{p\cdot q}{2}\biggl\rfloor $$ Claramente, $\mathscr{P}$ no está cerrado bajo $*$ . Pero hay primos que se comportan bien bajo $*$ . Para esos primos $(\mathscr{P},*)$ es un grupo con elemento de identidad $2$ .

Entonces, ¿bajo qué operación primigenia se forma un grupo?

Answer 1

Los primos se consideran naturalmente* como el generadores gratuitos de un grupo (el grupo multiplicativo de números racionales invertibles $\Bbb Q^\times$ módulo de torsión, es decir, hasta el signo), no son ellos mismos un grupo. De hecho, el aspecto de la libertad significa que son lo más lejos posible de estar cerrado bajo la operación de multiplicación. Más precisamente significa que no satisfacen ninguna relación multiplicativa, lo que en esencia equivale a la unicidad de las factorizaciones primarias. Y, por supuesto, la multiplicación es la operación utilizada para definir primos en primer lugar, por lo que cualquier otro tipo de operación natural a considerar debe derivar de alguna manera de la multiplicación de una forma u otra.

No veo ninguna operación de grupo de este tipo; ¿y tú? La operación $p*q:=\lfloor\frac{pq}{2}\rfloor$ me parece que no tiene mucho sentido. ¿Qué significado se supone que tiene? ¿O es que se ha elegido al azar?

Como se menciona en el comentario, se puede convertir cualquier conjunto contable $X$ en un grupo isomorfo a un grupo de igual tamaño $G$ simplemente invocando una biyección teórica de conjuntos $X\leftrightarrow G$ . Entonces sólo hay que reetiquetar los elementos de $G$ con los elementos correspondientes de $X$ para obtener la tabla de multiplicar de $X$ con su nueva estructura de grupo. Este tipo de construcción (llamada transporte de la estructura ) es completamente ciego a cualquier característica que $X$ puede tener más allá de ser un conjunto estéril, por lo que no se puede considerar una "estructura de grupo en $X$ " si el objeto $X$ ya tiene un significado especial establecido.

Hay otro tipo de estructura que podríamos identificar como primos - un espacio topológico, o más algebraicamente, un esquema afín . La geometría algebraica es el contexto adecuado para entender de qué trata esta perspectiva, pero es bastante abstracta y sofisticada.

*El teorema fundamental de la aritmética (existencia y unicidad de factorizaciones primos para los enteros) es se da por sentado con demasiada frecuencia como un hecho obvio . No es tan obvio como se podría pensar; hay anillos de números que hacen no tienen factorizaciones primos para todos los elementos y es difícil señalar alguna característica obvia en la superficie que nos diga cuándo/por qué son factoriales o no.