La norma de las medidas de Borel

Question

Estaba mirando el Página de convolución en la wikipedia y vi que afirmaba que podemos definir la convolución de dos medidas de Borel de variación acotada en $\mathbb{R}^d$ , $\mu$ y $\nu$ , para ser $$\int_{\mathbb{R}^d} f(x) d(\mu\ast \nu)(x) = \int_{\mathbb{R}^d} \int_{\mathbb{R}^d} f(x+y) d\mu(x) d\nu(y),$$ y que tenemos el resultado $$||\mu \ast \nu || \leq ||\mu|| ||\nu||.$$

Sin embargo, no estoy seguro de lo que significa la segunda afirmación. ¿Existe una norma natural para el espacio de medidas de Borel con variación acotada?

Answer 1

La respuesta de DJC va, por supuesto, al grano. Añado un breve esbozo de una prueba de la desigualdad $$\|\mu \ast \nu\| \leq \|\mu\| \,\|\nu\|$$ ya que lo has preguntado en un comentario. En ese comentario mencionaste $\sigma$ -finalidad. Nótese que la variación acotada implica que todas las medidas involucradas son de hecho finito .

Una de las formas más cómodas de escribir las normas de variación total es como

$$\|\mu\| = \sup_{|f| \leq 1}{\;\left|\int f\,d\mu\right|}$$

donde no importa mucho qué tipo de funciones medibles $f$ que permite en el supremum (continuo; simple; Borel; suave; con soporte compacto o no). Aquí me quedo con Borel.

Dado esto, la desigualdad es entonces clara: Por Fubini tenemos para toda función de Borel $f$ con $|f|\leq 1$ que la función $$y \longmapsto \left|\int f(x+y)\,d\mu(x)\right|$$ es de Borel y está limitada por $\|\mu\|$ de ahí el hecho de que $\|\nu\| = \| \,|\nu|\,\|$ da $$\left|\int f \, d(\mu \ast \nu) \right| = \left|\iint f(x+y)\,d\mu(x)\,d\nu(y)\right| \leq \int\left|\int f(x+y)\,d\mu(x)\right|\,d|\nu|(y) \leq \|\mu\| \,\|\nu\|.$$ La norma de $\|\mu \ast \nu\|$ es, por definición, el sumo sobre el lado izquierdo sobre $|f| \leq 1$ .

Answer 2

Sí . Generalmente, $\| \mu\|$ se define como

$$ \| \mu \| = |\mu|(\mathbb{R}^d), $$

donde $|\mu |$ es el total variación.