Lo que podría ser una mejor pregunta es ¿Cómo puedo recordar todos los diferentes común, estructuras algebraicas? ¿Cómo puedo realizar el seguimiento de todos los "diferentes" definiciones?
Yo uso las comillas porque la mayoría de las definiciones son muy similares.
Es importante que entendamos homomorphisms : cada vez que alguien dice homomorphism que significa que conserva toda la estructura que se puede! (unidad, producto, suma, todo a la vista)
En primer lugar dos reglas que usted tiene siempre cada vez que podía tener ellos (la mayor parte) :
1) ley asociativa : cuando hay una operación es asociativa, esto es una regla que sólo consiste en una sola operación. De nuevo, casi todos los algebraica de la estructura de cada operación binaria ser asociativo... excepto para los no-álgebras asociativas.
2) ley distributiva : siempre hay dos operaciones no es la ley distributiva. Estoy bastante seguro de que está siempre allí.
La mayoría de los básicos :
Monoids (algunas personas los llaman cosas diferentes, y hay más nociones básicas, pero no pienso que se están estudiando activamente en el álgebra. De hecho, yo no creo que monoids están estudiando activamente, esta definición es útil, aunque para fines posteriores) : Usted tiene una operación y una unidad de elemento de identidad para la operación.
Conmutativa monoid : como el anterior pero la operación es conmutativa.
Grupos : un monoid con la recíproca PARA TODO!
Abelian Grupo : un conmutativa monoid con la recíproca PARA TODO!
A partir de este punto todo es un grupo abelian además de algunos extras.
Dos operaciones :
estos vienen en uno de los dos sabores: otra operación, o la acción de algo externo a la persona que están buscando.
otra operación (generalmente pensamos en uno de los opeerations como aditivo y el otro como multiplicativo, esto es común y no se asusten o se preocupe usted) :
Anillos con unidad : estos son monoid objetos en la categoría de abelian grupos... lo que sea que eso significa. La forma correcta de pensar acerca de la última frase es que hay algún tipo de estructura sentado en la parte superior de la abelian estructura de grupo, y juegan muy bien juntos (la ley distributiva! la multiplicación por un elemento fijo es un homomorphism de abelian grupos). (después de entender las reglas de los anillos con unidades que podemos pensar acerca de los anillos sin unidades... si lo quieren preocuparse acerca de ellos ahora. Algunas personas toman anillo significa anillo con unidad, depende, en realidad, el libro)
Conmutativa Anillo con unidad : como un conmutativa monoid en la categoría de abelian grupos de derecha? sí... lo que sea que eso significa. En su mayoría sólo mirar a los de arriba. Buscando una lla conmutativa versiones de las cosas es generalmente una transición fácil a hacer.
División de álgebra : Esto es como un objeto de grupo en la categoría de abelian los grupos, excepto no puede ser que hay una relación inversa entre cero, o más bien la identidad aditiva. Por lo $R$ es una división de álgebra si $x \in R\setminus 0$ tiene una inversa para todos los $a \in R$. Nota aquí $R$ debe tener una identidad multiplicativa. Esencialmente $R$ es un anillo y $R\setminus 0$ es un grupo.
Campo: Como una división de álgebra, excepto conmutativa, por lo $R$ es un anillo y $R\setminus 0$ es un grupo abelian.
Externo de la operación :
Todos estos son los Módulos de una forma u otra. Siempre.
Módulo: un grupo abelian con una acción de un anillo, de modo que el anillo de acción satisface algunas distributividad condición.
Espacio vectorial: Un módulo más de un campo.
Ideal: Un submódulo de $R$. Tenga en cuenta que si $R$ es un anillo de lo que podemos pensar como de actuar sobre sí mismo a través de la multiplicación, este es el sentido en el que un ideal es un submódulo.
Después podré volver y añadir ejemplos, si quieres.
Déjeme saber si omití algo que me quieres agregar. Yo firmemente creo que el de arriba intuitiva definición es mucho mejor que la memorización de las ecuaciones que uno necesita. Si usted aprende algo acerca de diagramas conmutativos, a continuación, usted oly necesidad de los diagramas, y hay realmente sólo 2 o 3 de esos. A continuación podrá ver lo que realmente es siempre el mismo concepto.
