Supongamos que tenemos un conjunto de 20 números. Cada número en el conjunto es único. Soy capaz de recuperar el número uno en un momento de la serie con la probabilidad de recuperación de cualquiera de sus miembros, en igualdad de condiciones. ¿Cómo puedo determinar la probabilidad de que después de diez azar recuperaciones con reemplazo (es decir, una recuperación no eliminar un número de la serie) me gustaría tener 10 miembros únicos?
Muchas gracias por su ayuda.
Damos tres no muy diferentes argumentos. Los dos primeros utilizan el conteo, y el tercero trabaja directamente con las probabilidades.
Nos deja registro de los números que obtenemos como una secuencia de longitud $10$. Así que la secuencia $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ significa que tenemos $a_1$ en el primer pick, $a_2$ en el segundo, y así sucesivamente.
Hay $20^{10}$ tales secuencias, todos igualmente probables, ya que estamos reemplazando en cada etapa.
Supongamos que vamos a ser felices sólo si todos los números son diferentes.
Cualquiera de las $20$ números está muy bien para $a_1$. Pero para cada elección de $a_1$, sólo hay $19$ valores de $a_2$ que nos mantienen con la esperanza, para un total de $(20)(19)$ opciones para $(a_1,a_2)$. Pero para cada una de dichas elección de $(a_1,a_2)$, sólo hay $18$ valores de $a_3$ que nos mantienen con la esperanza, para un total de $(20)(19)(18)$ opciones para $(a_1,a_2,a_3)$. De continuar.
Nos encontramos con que no se $(20)(19)(18)\cdots (12)(11)$ secuencias de longitud $10$ que nos hacen felices. Por lo tanto la probabilidad es necesario $$\frac{(20)(19)(18)\cdots (12)(11)}{20^{10}}.$$
De otra manera: Nos cuente de nuevo el número de secuencias de longitud $10$ que nos hacen felices. Llamar a una cadena de longitud $10$ buena si todas sus entradas son diferentes. Los números que aparecen en una buena cadena puede ser elegido en $\dbinom{20}{10}$ maneras. Aquí $\dbinom{n}{r}$ es el número de formas de elegir los $r$ objetos de $n$ distintos objetos. En calculadoras científicas, la etiqueta es ${}_nC_r$.
Para cada opción de la $10$ distintos números, estos números pueden ser alineados en una fila en $10!$ maneras. Así que hay $\dbinom{20}{10}10!$ buenas secuencias de longitud $10$. La probabilidad de que va a ser feliz es, por tanto, $$\frac{\binom{20}{10}10!}{20^{10}}.$$
Aún de otra manera: podemos trabajar directamente con las probabilidades. La probabilidad de que todavía tenemos la esperanza de que después de la segunda dibujar es $\dfrac{19}{20}$.
Dado que todavía tenemos la esperanza de que después de la segunda dibujar, la probabilidad tenemos la esperanza de que después de la tercera dibujar es $\dfrac{18}{20}$. Así que la probabilidad de que todavía tenemos la esperanza de que después de la tercera dibujar es $\dfrac{19}{20}\cdot\dfrac{18}{20}$.
De continuar. La probabilidad de que se obtenga $10$ distintos números enteros es $$\frac{19}{20}\cdot\frac{18}{20}\cdot\frac{17}{20} \cdots\frac{12}{20}\cdot\frac{11}{20}.$$ Podemos hacer que la respuesta más bonito, al menos para un matemático, por poner un $\dfrac{20}{20}$ en la parte delantera.
La primera selección se ha $20$ posibilidades, la siguiente selección de $19$ posibilidades, y así sucesivamente hasta que el $10$-th selección ha $11$ posibilidades. El número total de maneras de elegir una pelota de estas posibilidades, cada vez es $20\cdot19\cdots12\cdot11$. El número total de formas de elegir los $10$ bolas en todas las es $20^{10}$. Así que usted está buscando en
$$P=\frac{20!}{10! 20^{10}}\approx 0.0655.$$
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