Hay un nombre para el concepto de la adición de "viento" a un espacio métrico?

Question

Digamos que tenemos un espacio métrico $(M,d)$ (en particular, se requiere que éste sea de una longitud de espacio métrico). Si un avión en el espacio en el que se mueve a una velocidad de 1, entonces se puede obtener desde el punto de $a$ a punto de $b$ $d(a,b)$ del tiempo.

Supongamos ahora añadimos el viento a este espacio. Por el viento, quiero decir que debemos asignar a cada punto de $x$ un vector $w(x)$.

Cuando el avión está a punto de $a$ que se mueve en la dirección $v$ (que es un vector unitario), se "mueve" de acuerdo a $v + w(a)$. En efecto, el viento sopla en contra.

Sabemos definir un quasimetric (M, d') de la siguiente manera. $d'(a,b)$ se define como la menor cantidad posible de tiempo que se iba a tomar el avión para llegar de un punto a a $a$ a punto de $b$ (o $\infty$ si el avión no puede conseguir a$a$$b$).

Hay un nombre para este concepto de transformación de la métrica en un quasimetric mediante la adición de "viento" para el espacio?

Ejemplos:

• Si definimos $w(x)=\vec 0$ todos los $x$,$(M,d) = (M,d')$.
• Si tomamos un círculo, y definir $w(x)$ como un vector unitario de las agujas del reloj, se obtiene la quasimetric definidos en el primer párrafo de esta respuesta (excepto las distancias se reducen a la mitad).

Answer 1

Este tipo de cosas es modelado utilizando Finsler métricas.

Si te gusta el viento, entonces Zermelo de navegación métricas es lo que quieres.

Answer 2

Si usted trata con un colector de riemann, vamos a $g_p $ del producto interior en $T_pM$ (una positiva definida la matriz cuyas entradas varían suavemente) . Dado un escalar función suave $w(p) > 0$, consideran que el nuevo producto interior $h_p= w(p) g_p$ (multiplicar la matriz por un número).

Recordemos que la longitud de un camino de $\gamma: (-1,1) \to M$ es $$\int_{-1}^{1} \gamma'(t) ^T g_{\gamma(t)} \gamma'(t) dt $$ Con la versión modificada de la medición, usted tiene un factor adicional $w(\gamma(t)) $. Si usted comenzó con un avión de tener velocidad 1 en el antiguo métricas, usted tiene $\gamma'(t) ^T g_{\gamma(t)} \gamma'(t)=1$; así, con el factor adicional de conseguir que la nueva distancia es $\int w(\gamma(t)) dt $.Esto significa que en los puntos con "alta" de viento que se han elevado a $w(p) $ (que en cierto sentido medir cuánto es difícil ir a través de un punto).

Esto no es exactamente lo que quería porque este cambio es lineal, pero puede ser una buena aproximación cuando el viento es pequeña y se puede suponer que es proporcional a la velocidad.