Contraejemplo para un isométrico homomorphism de álgebras de que no es involutiva.

Question

Me estoy encontrando dificultades para encontrar un contraejemplo que si $f:A\to B$ es un homomorphism de $C^*$álgebras a y B (que significa: f es lineal y multiplicativo) y sea f isométrica, esto implica que f preserva la involución.

Tal vez podríamos tomar a y B =$\mathbb{C}$ o el tensorproduct de $\mathbb{C}$, dotar a y B con una adecuada involución y tomar f=identidad para obtener un contraejemplo. Pero no sé qué tomar exaktly. O si alguien sabe otro ejemplo, yo estoy interesado en ella (a menudo usted obtener contraejemplos si se consideran las matrices). ¿Tienes una idea? Tal vez.. podría ser que no hay ningún contraejemplo. Agradecería su ayuda. Saludos

Answer 1

Al menos si $A$ $B$ son unital y $f(1)=1$, no hay ningún contraejemplo. Supongamos que estos supuestos en $A$, $B$, y $f$ mantener.

Debido a $A$ es el lineal útil de sus unitaria de los elementos, es suficiente para mostrar que $f(u^*)=f(u)^*$ para cada elemento unitario $u\in A$. Que ese $u$ ser fijo y deje $v=f(u)$. A continuación,$v^{-1}=f(u^*)$, lo $\|v\|=\|v^{-1}\|=1$. Para un operador $V$ sobre un espacio de Hilbert, es claro que la $\|V\|=\|V^{-1}\|=1$ implica que el $V$ es un operador unitario, por lo que en la luz de la Gelfand–Naimark teorema permitiendo $B$ a ser incorporados isométricamente a través de un $*$-homomorphism en $B(H)$ para un espacio de Hilbert $H$, debemos tener $v$ unitario en $B$, y por lo tanto $f(u)^*=v^*=v^{-1}=f(u^*)$.