Grupos de Lie para principiantes: Grupo de Lie de la geometría hiperbólica

Question

Intento comprender los grupos de Lie y su relación con la geometría hiperbólica (bidimensional).

según tengo entendido (que no es mucho, estoy forzando mi entendimiento aquí) el grupo de Lie es el conjunto de todas las transformaciones isométricas de una geometría.

Así que en geometría hiperbólica es el conjunto de todas las reflexiones , traslaciones, rotaciones, horolación y quizás otras transformaciones (hiperbólicas) que preservan la longitud.

Pero entonces

¿Qué significa que "el grupo de transformación de la geometría hiperbólica es el grupo ortocrónico de Lorentz"? $O ( 1 , n ) / O ( 1 ) $ ?" (por ejemplo, en https://en.wikipedia.org/wiki/Klein_geometry#Examples )

Por lo que puedo entender (y estoy forzando mi comprensión aquí) debería depender del modo de geometría hiperbólica que utilices.

En el modelo de disco de Poincare, el grupo de transformación es el conjunto de 1) todas las inversiones de círculos en círculos ortogonales al círculo límite y 2) sus combinaciones. (siendo la primera las reflexiones en rectas hiperbólicas, y la segunda las reflexiones múltiples.

En el modelo del semiplano de Poincare son otro grupo de transformaciones. el conjunto de 1) todas las inversiones de círculos en círculos centrados en el círculo límite 2) las reflexiones en rectas ortogonales a la línea límite y 3) sus combinaciones. (las dos primeras son reflexiones en líneas hiperbólicas, la tercera reflexiones múltiples).

Pero entonces me quedé perplejo ¿qué tiene esto que ver con el grupo de Lorentz? o cualquier otro grupo con nombre $ SO(2)$ , $ SO(2)$ o $SO^+(2)$ o $ O ( 1 , n ) / ( O ( 1 ) × O ( n ) ) $ (de https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_geometry#Homogeneous_structure Supongo que aquí n= 2 pero ni siquiera entiendo la fórmula)?

Me vendría bien un libro básico de "Introducción a los grupos de Lie para bichos hiperbólicos", se admiten recomendaciones.

Answer 1

Hay muchas formas de concebir la geometría hiperbólica, pero para mí, el plano hiperbólico es una variedad riemanniana bidimensional completa y simplemente conectada. $(M,g)$ con curvatura constante $-1$ .

Dada esta definición, cabe plantearse dos preguntas. La primera es si tal espacio existe y la segunda es si esas propiedades determinan el espacio de forma única hasta una isometría en el sentido de que si $(M_1,g_1)$ y $(M_2,g_2)$ son variedades Riemannnianas completas bidimensionales simplemente conectadas con curvatura constante $-1$ entonces $(M_1,g_1)$ y $(M_2,g_2)$ son isométricos.

Tratándose de la existencia, se puede construir dicho espacio de varias maneras (que se denominan modelos del plano hiperbólico). El modelo relevante para su pregunta se denomina Modelo hiperboloide para lo cual $M$ se considera que es la hoja de un hiperboloide que apunta hacia delante y se encuentra en el espacio de Minkowski $\mathbb{R}^{1+2}$ y la métrica $g$ es la métrica de Riemann sobre $M$ inducido en $M$ de la métrica de Minkowski pseudoimeniana sobre $\mathbb{R}^{1+2}$ .

Desde $M$ se sienta dentro $\mathbb{R}^{1+2}$ cualquier isometría $\varphi$ de $\mathbb{R}^{1+2}$ que fija $M$ (satisface $\varphi(M) = M$ ) descenderá a una isometría de $M$ . El grupo de isometrías lineales de $\mathbb{R}^{1+2}$ es un subgrupo de $GL_3(\mathbb{R})$ llamado grupo de Lorentz y se denota por $O(1,2)$ . El subgrupo de $O(1,2)$ fijación de $M$ se denomina grupo ortocrónico de Lorentz y se denota por $O^{+}(1,2)$ . Resulta que $O^{+}(1,2)$ es el grupo completo de isometrías de $M$ y $O^{+}(1,2)$ es isomorfo a $O(1,2)/O(1)$ de ahí la descripción por la que pregunta.

Además del modelo del hiperboloide, se pueden construir muchos otros modelos explícitos para el plano hiperbólico, mostrar que satisfacen la definición dada al principio y mostrar explícitamente que cada par de modelos son efectivamente isométricos. En particular, esto implica que los grupos isométricos de los distintos modelos deben ser isomorfos. Por ejemplo, en el modelo del semiplano superior de Poincaré, las isometrías que preservan la orientación se interpretan como transformaciones de Möbius y el grupo de isometrías que preservan la orientación se identifica naturalmente con $PSL(2,\mathbb{R})$ . Dado que el modelo del hiperboloide y el modelo del semiplano superior son isométricos, los grupos de isometrías que preservan la orientación en ambos modelos deberían ser isomorfos y, de hecho $PSL(2,\mathbb{R}) \cong SO^{+}(1,2)$ . Así, cuando leas sobre diferentes modelos para el plano hiperbólico, puedes encontrar diferentes descripciones de los grupos de isometría, pero todos serán isomorfos.

Por último, un resultado no trivial afirma que, efectivamente, la definición enunciada al principio determina el espacio de forma única hasta una isometría, por lo que no es una coincidencia que todos los modelos con los que uno suele tratar para el plano hiperbólico sean isométricos.