Un Dedekind conjunto infinito tiene un countably subconjunto infinito

Question

Establecer Un es Dedekind infinito, es decir, hay un bijective función de Una en algún subconjunto B de Un.

Por favor, probar que Una tiene un countably infinito subconjunto.

Answer 1

Si $f : A \to A$ es inyectiva, pero no en, solucionar algunos $a_0 \in A$ que no está en el rango de $f$. Ahora definir de forma recursiva $a_{n+1} = f(a_n)$$n \in \omega$. La inyectividad de $f$ (y la elección inicial de $a_0$) ahora implica que $a_n \neq a_m$$n \neq m$, y por lo $\{ a_n : n \in \omega \}$ es un countably infinito subconjunto de $A$. (Para asegurarse de que el propio del subconjunto solo omite $a_0$ desde el anterior conjunto.)