Calcular el determinante

Question

Calcular el determinante

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$$\begin{align*}D[n]=\begin{array}{cccccc} b & b & b & \dots & b & a \\ b & b & b & \dots & a & b \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ b & b & a & b & b & b \\ b & a & b & b & b & b \\ a & b & b & b & b & b \\\end{array}\end{align*}$$

$$\begin{align*}\left(\begin{array}{ccccc} b & b & b & b & a \\ b & b & b & a & b \\ b & b & a & b & b \\ b & a & b & b & b \\ a & b & b & b & b \\\end{array}\right)\end{align*}$$

He calculado el valor de $n=2$, y $n=3$, $(a-b)^2(a+2 b)$

Supongo que el resultado es $(a-b)^{n-1}(a+(n-1)b)(-1)^{n-1}$

Por lo tanto, necesito una prueba por inducción? cómo hacerlo?

No estoy seguro de si esto es más fácil de hacer que pensar en un nuevo método.

Answer 1

Puedes intercambiar las filas para traer la $a$s a la diagonal principal (¿cuál es el efecto que tienen en el signo?). A continuación, reemplace $a$ $a-X$ para obtener el polinomio característico $\chi_M(X)$ de su matriz, mientras que estamos buscando $\chi_M(0)$. Sus raíces son los valores propios con multiplicidad correspondiente. Tenga en cuenta que $(1\;1\;\ldots\;1)$ es obviamente un vector propio de valor propio $a+(n-1)b$ e las $(n-1)$-dimensional espacio ortogonal a consta de los vectores propios de valor propio $a-b$. De ahí su conjetura de la siguiente manera.