Deje $\omega = \frac{1 + \sqrt{19}i}{2}$. El artículo que aquí se pretende demostrar que el $\mathbb{Z}[\omega]$ es un ejemplo de un PID que no es un dominio Euclídeo. Para demostrar que es un PID, se necesita un ideal $I$ y elige distinto de cero $b \in I$ como para minimizar $|b|$ (la norma habitual en $\mathbb{C}$). Entonces él supone $a \in I \setminus (b)$ para obtener una contradicción. Según él, es suficiente para obtener el $p, q \in \mathbb{Z}[\omega]$ tal que $|ap - bq| < |b|$ para obtener una contradicción; pero descuida el caso de que $|ap - bq| = 0$ o $ap = bq$. El análisis de la prueba, con el tiempo se encuentra un número entero $j \in \mathbb{Z}$ tal que $|\frac{2a}{b} - \omega - j| < 1$, y multiplicando por $|b|$ obtenemos $|2a - b(\omega + j)| < |b|$. Por lo tanto, por el minimality de $|b|$ obtenemos $2a = b(\omega + j)$, pero no puedo encontrar una contradicción en esto. Podemos ver esto implica $\frac{a}{b} = \frac{\omega + j}{2}$, y por lo $\operatorname{Im}(\frac{a}{b}) = \frac{\sqrt{19}}{4}$, y elegimos $\frac{a}{b}$ por su parte imaginaria a mentir en $[-\frac{\sqrt{19}}{4}, \frac{\sqrt{19}}{4}]$ pero no me parecen tratar de distancia con estas extremidades. ¿Hay alguna forma más sencilla de solucionar esto una prueba?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Tenga en cuenta que $(2)\subset\mathbb{Z}[\omega]$ es primo, y que $\omega+j\notin(2)$ cualquier $j\in\mathbb{Z}$.
El hecho de que $2a=b(\omega+j)$ se sigue que $b\in(2)$, es decir, $b=2c$ algunos $c\in\mathbb{Z}[\omega]$. A continuación,$a=c(\omega+j)$$2c,c(\omega+j)\in I$, por lo tanto cualquiera de las $c\omega\in I$ o $c(\omega-1)\in I$. Luego también $$c\omega(\omega-1)=-5c\in I,$$ y, por tanto,$c\in I$, contradiciendo la minimality de $|b|$.
