Representaciones bidimensionales de grupos complejos

Question

Álgebra de Michael Artin capítulo 10 (ambos unstarred y representaciones complejas)

M.8 Demostrar que un grupo simple finito que no es de orden primo no tiene representación no trivial de dimensión 2.

M.14 Sea $\rho\colon G\to GL(V)$ sea una representación bidimensional de un grupo finito $G$ y supongamos que $1$ es un valor propio de $\rho_g$ para cada $g$ en $G$ . Demostrar que $\rho$ es una suma de dos representaciones unidimensionales.

Todos estos ejercicios están estrechamente relacionados con $GL_2(\mathbb C)$ y creo que está estrechamente relacionado con la propiedad de $U_2$ el grupo unitario, por lo tanto van juntos.

Podemos simplificar ambas cuestiones casi de la misma manera.

La primera:

No es difícil demostrar la corrección del caso abeliano, por lo tanto descartamos este caso por ahora. Supongamos que hay una representación 2D no trivial $\rho$ de un grupo simple finito $G$ . Desde $\rho$ no es trivial y $G$ es simple, $\ker\rho$ es trivial, y $G$ se incrusta como subgrupo de $GL_2$ . Por el teorema de Maschke, WLOG, podemos suponer que $G\subset U_2$ . Además, consideremos la correspondencia $\det\colon G\to\mathbb C$ tenemos $\ker\det$ no es trivial, ya que $G$ no es abeliano, por lo tanto por la normalidad de $G$ la imagen es trivial, y $G\subset SU_2$ el grupo unitario especial.

La segunda:

Sólo podemos considerar la imagen de $\rho$ . Es un grupo finito cuyas matrices tienen valor propio $1$ . Sólo demostraríamos que estas matrices son simultáneamente diagonalizables, por lo tanto $\rho$ es una suma directa de dos representaciones 1D. WLOG, supongamos que la imagen está contenida en $U_2$ por el teorema de Maschke.

Ambos problemas se simplifican como una propiedad de $U_2$ (el primero reduce un poco más). La primera dice que no hay ningún subgrupo simple de orden numérico compuesto, la segunda dice que si todos tienen valor propio $1$ entonces son simultáneamente diagonalizables.

¿Cómo proceder? Necesito alguna idea de $U_2$ o $SU_2$ . Gracias.

EDIT: Creo que mi anterior pregunta también está relacionada.

Answer 1

Tobias Kildetoft me ha sugerido que añada esto como respuesta, pero sigue pareciéndome demasiado difícil:

M.8 Obsérvese que $G$ es simple y no abeliano (si no es de orden primo) sabemos que cualquier representación unidimensional de $G$ es trivial. Ahora, supongamos que $\rho:G\to\text{GL}_2(\mathbb{C})$ no es trivial. Entonces, evidentemente $\rho$ es fiel. Pero, como tampoco puede ser la suma de repeticiones unidimensionales (ya que todas son triviales) también debe ser irreducible. Esto implica, en particular, que $2\mid|G|$ para que $G$ tiene algún elemento de orden $2$ , digamos $g$ . Obsérvese entonces que $\rho(g)$ debe tener valores propios $\pm 1$ (ya que es orden $2$ ). Pero, como ya has señalado, también debe tener determinante $1$ . Esto obliga a que los valores propios sean a la vez $-1$ y así, en particular, $\rho(g)$ es una matriz escalar, por lo que en el centro de $\text{GL}_2(\mathbb{C})$ . Por fidelidad se entiende que $g$ es un elemento no trivial de $Z(G)$ que por simplicidad obliga a $G=Z(G)$ . Esto es una contradicción.

Answer 2

M.14: Podemos suponer que $\rho$ es fiel (basta con sustituir $G$ por $G/\ker(\rho)$ y no cambian ni la hipótesis ni la conclusión). En particular, no hay ningún elemento no identitario en el núcleo de $\det$ desde $\det(g)$ es precisamente el valor propio no uno de $g$ . Así $\det:G/\ker(\rho) \to \mathbb{C}^\times$ es una incrustación, y $G/\ker(\rho)$ es abeliano finito, por lo que cada representación es una suma directa de representaciones unidimensionales.

Answer 3

Otra solución para M.14 (probablemente te resulte más fácil que la respuesta de Jack):

Supongamos por contradicción que $\rho$ no es una suma de dos representaciones unidimensionales, debe ser irreducible. Como uno de los valores propios es 1, la matriz de $\rho(g)$ debe parecerse a $$\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & \lambda_g\end{pmatrix}$$ de ahí $\chi(g) = 1 + \lambda_g$ .

Ahora, tomemos el producto interior de $\chi$ con la representación unitaria. (Como nota al margen, este es un truco estándar en ejercicios similares en los que se sabe algo sobre la suma de los caracteres). Dado que una representación bidimensional nunca puede ser isomorfa a una representación unidimensional, este producto interior debe ser igual a cero (ya que ambas son irreducibles). Así pues, $$\frac{1}{|G|}\sum_{g \in G} \chi(g)= 0 = 1+\frac{1}{|G|}\sum_{g \in G} \lambda_g$$ Por la desigualdad del triángulo, $$|\sum_{g \in G} \lambda_g| \le \sum_{g \in G} |\lambda_g| = |G| $$ con igualdad tomada cuando todos $\lambda_g$ son iguales y como la suma es -|G|, todas tendrían que ser -1. Pero la norma de esta representación es 0 $\neq$ 1, por lo que nuestra hipótesis falla y $\rho$ no debe ser irreducible, de ahí que sea una suma de dos representaciones unidimensionales.

Answer 4

Como señala Frank para M8, $G \leq SU_{2} (\mathbb{C})$ . Existe un homomorfismo de grupo de 2 a 1: $$SU_{2} (\mathbb{C}) \to SO_{3} (\mathbb{R})$$ Esta es la portada universal de $SO_{3} (\mathbb{R}) \cong \mathbb{R}P^{3}$ (Artin trata este tema -creo- en el capítulo 9). Desde $G$ es simple, esto significa $G \leq SO_{3} (\mathbb{R})$ también, lo que significa que $G$ es un subgrupo finito de lo que Artin denomina "grupo de rotación" (al final del capítulo 6), es decir, un grupo que actúa fielmente sobre la esfera mediante un movimiento rígido. Artin clasifica todos estos grupos finitos. Sólo hay cinco posibilidades $G $ según esta clasificación:

1. $\mathbb{Z}/n$

2. El grupo diedro $D_{n}$

3. El grupo tetraédrico $A_{4}$

4. El grupo octaédrico $S_{4}$

5. El grupo icosaédrico $A_{5}$

El único grupo de esta lista que no es de orden primo y es simple es $A_{5}$ que tiene 5 representaciones complejas irreducibles. Una de ellas es la trivial y las 4 restantes tienen dimensión > 2. Por tanto, no tiene representaciones no triviales de dimensión 2. Por tanto, M8. Puede que esto fuera lo que Artin tenía en mente, ¡aunque me gusta más el argumento de Alex!