Los autovalores de a $\operatorname{ad}x$

Question

Deje $x\in \operatorname{gl}(n,F)$ ha $n$ distintos autovalores $a_1,\ldots,a_n$$F$. Demostrar que los valores propios de a $\text{ad }x$ son precisamente las $n^2$ escalares $a_i-a_j$ ($1\leq i,j\leq n$), que por supuesto no necesita ser distintos.

Por lo que podemos representar a $x$ $n\times n$ matriz $X$. Tenemos $Xv_1=a_1v_1,\ldots, Xv_n=a_nv_n$ para los vectores propios $v_1,\ldots,v_n$.

Ahora, $\operatorname{ad}x$ es de $y\in \operatorname{gl}(n,F)$$xy-yx$. Necesito mostrar que algunos de los $y$ es tomado por un escalar varios de sí misma, en la que escalar es $a_i-a_j$. ¿Qué podría ser ese $y$?

Answer 1

En primer lugar, desde $X$ $n$ distintos autovalores, es diagonalisable, así que vamos a $\{e_1,\dotsc,e_n\}$ ser una base para $F^N$ consta de los vectores propios de a$X$,$X e_k = a_k e_k$.

Siguiente, ya $X^T$ tiene los mismos autovalores como $X$ con las mismas multiplicidades, es diagonalisable, así que vamos a $\{f_1,\dotsc,f_n\}$ ser una base para $F^N$ consta de los vectores propios de a$X^T$,$X^T f_k = a_k f_k$.

Ahora, compruebe que el $\{e_i f_j^T\}_{i,j=1}^n$ es una base para $M_n(F)$. ¿Qué es $(\operatorname{ad}X) \left(e_i f_j^T\right)$ por cada $i$$j$?

Nota: Esta construcción de una base para la $M_n(F)$ es en realidad bastante natural, e incluso se generaliza la construcción de la norma base para $M_n(F)$ a partir de la norma base de la $F^n$. En general, si $V$ $W$ son finito-dimensional espacios vectoriales, a continuación, $L(W,V) \cong V \otimes W^\ast$ (naturalmente!), así que si $\{v_j\}$ es una base para $V$ $\{\omega_k\}$ es una base para $W^\ast$ (por ejemplo, la doble base a una base $\{w_k\}$$W$), $\{v_j \otimes \omega_k\}$ es una base para $V \otimes W^\ast$, y a su vez puede ser identificado con una base para $L(W,V)$, es decir, a través de la identificación de $v_j \otimes \omega_k$ con la transformación lineal $$w \mapsto \omega_k(w)v_j.$$ En este caso, usted tiene $M_n(F) \cong L(F^n,F^n) \cong F^n \otimes (F^n)^\ast$, $\{v_j\} = \{e_j\}$ $\{\omega_k\}$ la base dual a $\{f_k\}$.