Cómo probar la convergencia de la serie $\sum\frac{(3n+2)^n}{3n^{2n}}$

Question

Tengo que probar la convergencia de esta serie:

$$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(3n+2)^n}{3n^{2n}}$$

He intentado usar el criterio de Cauchy y terminó con un límite de $1$, pero ya sé que hace converger.

¿Y supongo que para demostrarlo? Tenga en cuenta que también he probado la integral de la prueba y no fue capaz de resolver.

Answer 1

sugerencia: $\dfrac{(3n+2)^n}{n^{2n}} = \left(\dfrac{3n+2}{n^2}\right)^n< \left(\dfrac{4}{n}\right)^n< \dfrac{16}{n^2}$

Answer 2

La raíz de la prueba se aplica muy bien aquí. Tomando $\displaystyle a_n=\left(\frac{3\,n+2}{n^2}\right)^n$ da $$ \lim_{n\to\infty}\lvert a_n\rvert^{1/n} = \lim_{n\to\infty}\frac{3\,n+2}{n^2} =0<1 $$ Esto demuestra que $\sum a_n$ converge, entonces la serie $\frac{1}{3}\sum a_n$ converge.

Answer 3

Vamos a usar el $n$th raíz de la prueba. $$ \left|\frac{(3n+2)^n}{3n^{2n}}\right|^{1/n} = \frac{3n+2}{3^{1/n}n^2} \a 0. $$ Desde $0<1$, la serie converge absolutamente.