Mostrando que un mapa de $T:V \to W$ $\dim(V)<\dim(W)$ no es surjective

Question

Deje $T:V\to W$$\dim(V)<\dim(W)$.

Por la clasificación de nulidad teorema, sabemos $\dim(V)=\dim(\operatorname{Ker}(T))+\dim(\operatorname{Im}(T))$

Por lo $\dim(\operatorname{Im}(T))<\dim(W)$ y, por tanto, $T$ no es surjective.

Answer 1

A la derecha, la dimensión de un espacio debe ser un entero no negativo. La prueba de que $T:V \to W$ no es surjective es válido.

Answer 2

Usted puede probar también sin el rango de-nulidad teorema. Deje $\{w_1,\dots,w_n\}$ ser una base de $W$. Si $f$ es surjective, entonces usted puede encontrar $v_1,\dots,v_n$ tal que $f(v_k)=w_k$ $(k=1,\dots,n)$. Desde $n>\dim V$, usted sabe que $\{v_1,\dots,v_n\}$ es linealmente dependiente, por lo que también se $\{f(v_1),\dots,f(v_n)\}$ es linealmente dependiente: contradicción.

Answer 3

Un corto de prueba: $$\DeclareMathOperator\dim{dim}\dim(\operatorname{Im}T)\le \dim V<\dim W.$$