mostrar que $f(x) =0$

Question

$f$ es una función continua en a$[0,1]$

$$ f\left(\frac{x}{2}\right)+f\left(\frac{1+x}{2}\right) = 3f(x) \qquad \forall x \in [0,1]$$

Mostrar que $f(x)=0$

Answer 1

Desde $f$ es continua en a$[0,1]$, alcanzará su máximo en algún punto de $y$(let), así que vamos a $f(y)=M$. Entonces $$3M=3f(y) = f \left( \frac{y}{2} \right) + f \left( \frac{1+y}{2} \right) \leq 2M \\ \implies M \leq 0.$$Similarly, for the minimum $m$ that $m \geq 0$. But this is possible only if $f= 0$.