Necesita una pista: pruebe que$[0, 1]$ y$(0, 1)$ no son homeomorfos

Question

Necesito una sugerencia: probar que $[0, 1]$ $(0, 1)$ no homeomórficos sin hacer referencia a la compacidad. Este es un ejercicio en una topología de libros de texto, y viene mucho antes de compacidad se discute.

Hasta ahora mi única idea es mostrar que un homeomorphism sería monótona, por lo que la definición de un poset isomorfismo. Pero los puede haber tal isomorfismo, porque hay un mínimo y un máximo de elementos en $[0, 1]$, pero ni en $(0, 1)$. Sin embargo, esto no parece un elemenary prueba de que el libro debe estar pidiendo.

Answer 1

No es continuo y bijective función de $f:(0,1) \rightarrow [0,1]$. De hecho, si $f:(0,1) \rightarrow [0,1]$ es continua y surjective, a continuación, $f$ no es inyectiva, como se ha podido comprobar en mi respuesta en Continua bijection de (0,1) a [0,1]. Esto es una consecuencia del teorema del valor intermedio, que es un teorema acerca de la conexión. Se puede usar?

Answer 2

Deje $f:[0,1]\to (0,1)$ ser un homeomorphism. Supongamos, por una contradicción, que $f$ no es monótona. En particular, existe:

(1) $a<b<c$ $f(a)<f(b)$ $f(b)>f(c)$

                    or

(2) $a<b<c$ con $f(a)>f(b)$$f(b)<f(c)$.

Consideremos el caso (1) sin pérdida de generalidad.

Ejercicio 1: Demostrar que la imagen de $(a,c)$ bajo $f$ no está abierto en el $(0,1)$. En particular, tenemos una contradicción y $f$ debe ser monótona.

Supongamos, sin pérdida de generalidad que $f$ es monótonamente creciente.

Ejercicio 2: Demostrar que $f$ no es surjective. En particular, tenemos una final de la contradicción.

Por lo tanto, $f$ no es un homeomorphism.

Los siguientes ejercicios son relevantes:

Ejercicio 3: Demostrar que existe un continuo surjection $f:(0,1)\to [0,1]$. ¿Crees que hay una continua surjection $f:[0,1]\to (0,1)$?

Ejercicio 4: ¿existe un surjective abrir mapa (es decir, abrir los conjuntos se asignan a abrir sets) $f:[0,1]\to (0,1)$. ¿Crees que hay una surjective abrir mapa $f:(0,1)\to [0,1]$?

Ejercicio 5: Encontrar un ejemplo de un continuo bijection entre espacios topológicos que no es un homeomorphism.

Answer 3

Aquí hay una pista. Si$X$ y$Y$ son homeomorfos (a través de$f$) entonces$X \setminus \{x\}$ y$Y \setminus \{f(x)\}$ (topologías subespaciales) son homeomorfos mediante la restricción de$f$, para cualquier $x \in X$.

Answer 4

$\text{id}_{(0,1)}$ no tiene máximo (fácil)

Cada función continua$f$ en$[0,1]$ tiene un máximo; de lo contrario, elija$x_n$ de tal manera que$f(x_n)>\text{sup}f([0,1])-\frac{1}{n}$ para todos$n$. Entonces Bolzano-Weierstraß lo hace.