Estoy siguiendo a Carroll. Explica que es una convención parametrizar las geodésicas de los fotones con un parámetro$\lambda$ tal que$$p^\mu = d x^\mu /d \lambda.\tag{3.62}$$ But this is the definition of 4-velocity for a massive particle in the case $ \ tau = \ lambda$. My question then, is $$u^\mu = p^\mu$ $ para todos sin masa partículas?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Desde una perspectiva de Lagrange, el Lagrangiano de una masiva o punto de masa de la partícula es$^1$ $$ L~=~\frac{\dot{x}^2}{2e}-\frac{m^2e}{2}, \qquad \dot{x}^2~:=~g_{\mu\nu}(x)~ \dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}~<~0, \qquad \dot{x}^{\mu}~:=\frac{dx^{\mu}}{d\lambda} ,\tag{1}$$ cf. por ejemplo, este, este y este Phys.SE postes. Ahora nos restringimos al caso sin masa $$ m~=~0. \tag{2}$$
En eq. (1) $\lambda$ es un worldline parámetro, y $e>0$ es worldline (WL) einbein campo introducido para hacer la acción $$S[x,e]~=~ \int\! \mathrm{d}\lambda ~L\tag{3}$$ gauge invariantes bajo reparamerizations $$ \lambda\longrightarrow \lambda^{\prime}~=~f(\lambda).\tag{4} $$ En más detalle el WL einbein campo $e$ transforma como un WL co-vector/una-forma, $$ e~\mathrm{d}\lambda~=~e^{\prime}~ \mathrm{d}\lambda^{\prime}.\tag{5} $$
El Lagrangiano $4$-momentum$^2$ se define en la forma estándar: $$ p_{\mu}~:=~\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^{\mu}}~\stackrel{(1)}{=}~ \frac{1}{e}g_{\mu\nu}(x)~\dot{x}^{\nu}.\tag{6}$$
Carroll eq. (3.62), que en nuestra notación se lee$^2$ $$p^{\mu}~=~\dot{x}^{\mu}, \tag{7}$$ es eq. (6) en el medidor de $e=1$, cf. por ejemplo, este Phys.SE post.
--
$^1$ En esta respuesta podemos poner la velocidad de la luz $c=1$ a uno y utilizar la convención de signos $(−,+,+,+)$.
$^2$ Es divertido comprobar que en la masiva caso de que el Lagrangiano de impulso (6) se convierte en el estándar $4$-el impulso $$ p^{\mu}~\approx~\frac{m\dot{x}^{\mu}}{\sqrt{-\dot{x}^2}}\tag{8}$$ en la estática de la galga $\lambda=x^0$ en el espacio de Minkowski. [Aquí el $\approx$ símbolo significa la igualdad modulo moe.]
$^3$ Nota de que la noción de $4$-velocidad $$ u^{\mu}~:=~\frac{dx^{\mu}}{d\tau} \tag{9} $$ no está definido para partículas sin masa. Aquí $\tau$ indica tiempo apropiado, que no cambia para una partícula sin masa. Así OP ecuación de $p^{\mu}=u^{\mu}$ no tiene sentido si $u^{\mu}$ es el supuesto convencional de 4-velocidad.
MW99
Puntos
1
Entonces, una partícula sin masa obedece a$E = pc$, que es un caso especial de la ecuación relativista$$(m c)^2 = p^\mu p_\mu = (E/c)^2 - |\vec p|^2,$$ when $ m = 0$. Indeed when we have a massive particle we have $ \ lambda = \ tau / m$, but with a massless particle neither of these are defined: massleses particles do not have mass and do not experience time. Nevertheless you can imagine choosing someone who sees the particle moving at speed $ c $ and using their local coordinate of time $ t$, describing it as a 4-position path $ x ^ \ mu (t) = (ct, \ vec x_0 + \ vec v ~ t).$ Not everyone agrees on the $ t$-derivative of this because not everyone agrees on $ t$, but indeed there is a frame-dependent proportionality constant to take this to the 4-momentum and we can combine that with $ t$ into $ \ lambda$. So the problem is that there is no $ u ^ \ mu$ for massless particles, because there is no $ \ tau$ for massless particles, but we still have $ p ^ \ mu$ and $ \ lambda $ muy bien.
Robin Ekman
Puntos
6938
El vector tangente (campo) de un mundo en el que la línea no está bien definido ya que el vector tangente es la derivada con respecto a un parámetro. Por lo tanto el vector tangente es parametrización-dependiente. Sin embargo, si la tangente es timelike o lightlike (null) es invariante. Para partículas macizas, $ds^2 > 0$, de modo que el espacio intervalo de tiempo integrado a lo largo de la curva puede ser utilizado como un parámetro. Este es el momento adecuado, y tenemos la 4-velocidad de $u^\mu = dx^\mu/d\tau$.
Para partículas sin masa, $ds^2 = 0$ y no existe la noción de tiempo apropiado. Sin embargo, se puede demostrar que cualquier curva se puede dar un parámetro afín $\lambda$ tales que la ecuación geodésica expresados en $\lambda$-derivados de la toma de una forma particular. Todos estos parámetros están relacionados con affinely $$\lambda_1 = k\lambda_2 + m$$ donde $k,m$ son constantes. Esta es la libertad suficiente para elegir a $\lambda$ tal que Carroll condición se mantiene.
(4-momentum puede ser definido en una parametrización de la invariante en el camino.)
