Un espacio topológico tal que cada subespacio de él esté conectado.

Question

Deje $\tau$ ser la topología en $\mathbb{R}^2$ cuyo abrir los conjuntos de la forma $$G_t = \{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid x>y+t\}, \; t\in \mathbb{R}$$ Es la unión de dos líneas de $r\cup s$ conectado en $(\mathbb{R}^2,\tau)$?

Yo lo que hice fue considerar $r\cup s$ como subespacio de $\mathbb{R}^2$ y asumir que therexist $A$ $B$ tal que $$r\cup s = A\cup B$$ y $A\cap B =\emptyset$. Entonces podemos escribir $A$ $B$ $$A=(r\cup s)\cap G_{t_1},\, B= (r\cup s)\cap G_{t_2}$$ Pero puesto que para cada $t_1, t_2 \in \mathbb{R}$, $G_{t_1}\subset G_{t_2}$ o $G_{t_2}\subset G_{t_1}$, tenemos que $$A\subset B\; \text{or}\; B\subset A$$ En cualquier caso, $A\cap B\neq \emptyset$ y, por tanto, no hay separación de $r\cup s$, lo $r\cup s$ está conectado.

Mi pregunta es si esta prueba no está bien, y también si funciona también para cualquier subespacio de $(\mathbb{R}^2,\tau)$ ya que no utilizan en absoluto nada acerca de las dos líneas. También

Hay otros ejemplos de topologías en $\mathbb{R}^2$ de manera tal que todos los subespacios están conectados?

Answer 1

Los espacios de los que tienen cada subespacio conectados son esencialmente el total de pre-ordenes de EDICIÓN: pero ver a continuación.

En una dirección, dado un espacio de $X$, definir una relación $\le$ $X$ $a\le b$ si cada conjunto abierto que contiene a $b$, también contiene $a$. Esta relación es claramente un preorder. Si cada subespacio de $X$ está conectado, a continuación, $\le$ total: para cada $a, b\in X$, $a\le b$ o $b\le a$ ($\{a, b\}$ sería una desconectado subespacio de $X$).

Por el contrario, supongamos $(L, \le)$ es un preorden total. A continuación, podemos girar a la $L$ a de un espacio topológico tomando como abre los conjuntos de la forma$\{b: b\le a\}$$a\in L$. La preventa asociados a este espacio es exactamente $(L, \le)$. Así que esta es una caracterización exacta.

---

Esta respuesta es incorrecta en una forma sutil, como Eric Wofsey señala a continuación: el preorder asignado a un espacio que no se caracterizan! Específicamente, podemos tener dos espacios con isomorfo pre-ordenes, que no son homeomórficos. Un ejemplo sencillo es: cualquiera de los dos espacios de Hausdorff con la misma cardinalidad.

Incluso podemos llegar con un hereditariamente conectado ejemplo! Deje $X=\mathbb{N}\cup\{\infty\}$, y considere los siguientes dos topologías en $X$:

• $\tau=\{\{k, k+1, k+2, . . . \}\cup\{\infty\}: k\in\mathbb{N}\}\cup\{\emptyset\}$,

• $\sigma=\{\{k, k+1, k+2, . . . \}\cup\{\infty\}: k\in\mathbb{N}\}\cup\{\{\infty\}\}\cup\{\emptyset\}$.

Es fácil demostrar que los $\tau$ $\sigma$ el rendimiento de la misma preorder.

Sin embargo, este es un homeomorphism invariante para finito hereditariamente espacios conectados, o - mejor aún - espacios cuyos asociados preorder tiene un número finito de clases de equivalencia. A grandes rasgos, dos hereditariamente espacios conectados con el mismo preorder sólo se diferencian en el límite de los puntos en que preorder (aunque es un poco complicado de hacer este preciso).

Answer 2

Noé respuesta no es del todo correcta (edit: ahora se ha editado para comentar sobre esto). Dado un espacio topológico $X$, hay un preorder en $X$ definido por $a\leq b$ fib $b\in\overline{\{a\}}$, o, equivalentemente, si cada conjunto abierto que contiene a $b$ contiene $a$. Esto se llama la especialización preorder. (No hay ninguna convención universal para que la dirección de la orden, por lo que también va a ver la gente define la especialización preorder como lo opuesto a la manera que acabo de definir.)

Como Noé mostró, si todos (no vacío) de un subconjunto de a $X$ está conectado, y luego la especialización preorder debe ser total: si $a$ $b$ son incomparables en la especialización preorder, entonces el subespacio $\{a,b\}$ está desconectado. Por el contrario, si la especialización preorder de $X$ es total, pues todos (no vacío) de un subconjunto de a $X$ está conectado: cada dos-punto subconjunto está conectado, lo que significa que cualquiera de los dos puntos están en la misma componente conectado de cualquier subespacio que contiene a ambas.

Así que cada (no vacío) de un subconjunto de a $X$ está conectado iff la especialización preorder es total. Y hay un montón de ejemplos de topologías con total especialización preorder. De hecho, cualquier preorder en absoluto puede ser la especialización preorder de una topología: dado un preorder $\leq$$X$, tomar la topología generada por los conjuntos de $\{y\in X:y\leq x\}$ por cada $x\in X$.

Sin embargo, no es exacto decir que estas topologías en un conjunto $X$ son "el mismo" que el total de pre-ordenes en $X$, ya que los diferentes topologías puede dar el mismo preorder. Por ejemplo, supongamos $X=\mathbb{R}$; a continuación, aquí están dos topologías diferentes, cuya especialización preorder es el orden usual en $\mathbb{R}$. La primera topología generada por los conjuntos de $(-\infty,x]$ por cada $x\in\mathbb{R}$. La segunda topología generada por los conjuntos de $(-\infty,x)$ por cada $x\in\mathbb{R}$.

Answer 3

La topología indiscreta$\{\mathbb R ^2,\varnothing\}$ también funciona. O para un ejemplo de$T_1$, deje$X:=\{\langle n,0\rangle:n\in\omega\}$ y tome una base de conjuntos$U\subseteq \mathbb R ^2$ tal que$U=V\cup (X\setminus F)$ para algunos% abiertos$V$ en$\mathbb R ^2$ y$F\subseteq X$ finito. No puedes mejorar que$T_1$ (si el espacio es Hausdorff, entonces cualquier conjunto de tamaño$2$ no está conectado).

Por cierto, el espacio inicial$\mathbb R ^2$ no importa para estos ejemplos.