Deje $M$ ser un suave compacto colector con un número finito de medida de Borel $m$. Deje $\{f_t\}_{t\in\mathbb R}$ $C^1$ de flujo en la $M$. Es decir, un $C^1$ función $$ \mathbb R\times M\ni(t,x)\mapsto f_t(x)\M $$ tal que $f_0(x)=x$ todos los $x\in M$, e $f_{t_1}\circ f_{t_2}=f_{t_1+t_2}$ todos los $t_1,t_2\in\mathbb R$. Entonces, el pullback operador $f_t^*$ $C(M)$ (con el sup-norma), $$ f_t^*\;\!\psi=\psi\circ f_t,\quad t\in\mathbb R,~\psi\in C(M), $$ es un operador acotado.
Me pregunto si $\;\!f_t^*$, podría extenderse a un operador acotado en $L^2(M,m)$ ($L^2$- norma), por ejemplo, cuando $|t|$ pequeña$\;\!$?
El problema es que no podemos utilizar las herramientas de cálculo diferencial, tales como el Jacobiano, integración por partes, y así sucesivamente, para calcular la norma de $f_t^*$ $L^2(M,m)$ debido a (1) la medida de $m$ no está dada por una forma de volumen en $M$ y (2) el flujo de $\{f_t\}_{t\in\mathbb R}$ no conserva la medida de $m$.
