Probar la convergencia y encontrar el valor del límite de la secuencia.

Question

Secuencia

$$a_{n+1}=(1+\frac{1}{3^n})a_n$ $$$a_1=1$ $

La pregunta pide probar su convergencia y encontrar su límite. He intentado todas las formas habituales pero no puedo resolverlo. La pregunta también dice que debemos tratar de probar que está limitado por 3. Por favor, ayuda.

Answer 1

Insinuación:

Deje$b_n=\ln a_n$, luego$b_n=\sum_{k=1}^{n-1}\ln (1+\frac{1}{3^k})$.

Como$\ln (1+x)<x$, entonces$b_n<\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{3^k}$ converge.

Para el valor exacto, no creo que este límite pueda calcularse . ver wolframalpha

Answer 2

Para la convergencia, ver la respuesta de Ma Ming.

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Considere la posibilidad de: $$f(n,x)=\prod_{k=1}^n(1+x^k)$$ Estamos interesados en la asymptotical comportamiento de $f(n,x)$$n\to\infty$$0\le x<1$. Aviso que el primer $m$ términos en que el producto puede contribuir a los términos de la orden de $x^m$. Cada ocurren $x^m$ corresponde a una partición de $m$ de la forma $\lambda_1>\lambda_2>\ldots>\lambda_\ell>0$, $\lambda_1+\ldots+\lambda_\ell=m$ a través de $x^m=x^{\lambda_1}\ldots x^{\lambda_\ell}$. Deje $p(m)$ el número de particiones de $m$. Esto muestra que: $$\bigg[f(n,x)\bigg]_{x^m}=\tilde{p}(m)$$ si $n\ge m$. Así tenemos: $$f(n,x)=\sum_{k=0}^n\tilde{p}(k)x^k+o(x^{n+1})$$ En el límite de $n\to\infty$ consigue la generación de la función de restricción de las particiones: $$f(x)=\prod_{k=1}^\infty(1+x^k)=\sum_{k=0}^\infty\tilde{p}(k)x^k$$ Esto no tiene ninguna forma cerrada, que yo sepa, y creo que no puede ser evaluado para determinados $x>0$ (excepto numéricamente, por supuesto).

Nota: Obviamente el caso que nos interesa es $x=\frac{1}{3}$, por lo que tenemos $a_{n+1}=f(n,x)$.

Answer 3

Como se alude a otra respuesta, puede enlazar la secuencia anterior y, por lo tanto, mostrar que converge. En cuanto al valor exacto, es igual a la serie$\sum_n a_n (1/3)^n$ donde$a_n$ cuenta la cantidad de formas para elegir cualquier número de enteros positivos distintos que se suman a ser$n$ (y$a_0 = 1$). Esto parece un valor de serie difícil de calcular. Es posible que no se encuentre una fórmula cerrada para el límite de su secuencia.