Imagina que tengo una bolsa de n canicas etiquetadas. Me gustaría sacar una canica al azar de la bolsa x veces. Cada vez que cojo una canica, la coloco de nuevo en la bolsa.
¿Cómo calculo la probabilidad de que solo coja p canicas distintas?
En mi caso, tengo 90 canicas etiquetadas, 550 selecciones y quiero saber cuál es la probabilidad de que solo seleccione 60 canicas distintas.
Podemos empezar por preguntar a los siguientes combinatoria pregunta:
Dado un conjunto de $m$ categorías y $l$ elementos de las categorías, ¿cuántas formas posibles puede que la distribución de la $l$ artículos entre el $m$ categorías?
Por ejemplo, supongamos que salió a pescar y me dijo que me llamó 5 peces. En el lago hay tres tipos de pescado: atún, salmón, y la carpa. Así que yo podría haber cogido 3 de atún, 1 salmón, y 1 de la carpa. O 2 salmón y 3 de la carpa. Etc. De cuántas maneras existen para distribuir el 5 de capturas entre los 3 tipos de pescado?
La respuesta, como a menudo se da en el texto, puede ser explicado con las estrellas y barras. Es decir, si tomamos $m-1$ bares y $l$ estrellas, se puede hacer una foto que se parece a esto:
$*|**||*|***|*$
Usted puede leer la imagen de arriba, de la siguiente manera: Hay 6 categorías, correspondientes a las 5 barras utilizadas como dividir puntos. La primera categoría tiene 1 punto. El segundo tiene dos elementos. La tercera tiene cero. El cuarto tiene uno. La quinta tiene tres elementos. La sexta y última categoría tiene 1 punto.
Una única partición de las estrellas y las barras corresponde a un único modo de dividir $l$ elementos en $m$ categorías. Hay un total de $l + m -1$ posiciones a ocupar, con $m-1$ bares y $l$ estrellas para ocupar esos cargos. Por lo tanto, hay $l + m - 1 \choose l$ posibles maneras de distribuir la $l$ elementos en $m$ categorías.
Con ese conocimiento, ahora supongamos que tenemos $l$ artículos y $m$ categorías, pero estamos dado que cada una de esas categorías es ocupado por al menos un elemento. Porque todos los de la $m$ potencialmente ocupada categorías están ocupadas por al menos un elemento, esto deja a $m$ artículos hablado, con el resto de las $l - m$ artículos para ocupar el $m$ categorías en cualquier forma que queremos. El uso de las estrellas y las barras de resultado, hay $l -1 \choose l - m$ caminos posibles para esta ocupación para tomar su lugar.
Ahora para poner esto para el problema anterior. Porque cada uno de mármol se puede seleccionar cualquier número de veces, podemos tratar cada uno de mármol como una categoría, y cada selección como un elemento. Para $n$ canicas, de las cuales sólo se selecciona un específico conjunto de tamaño $p$ $k$ sorteos, pero para el que seleccionamos todos los de los $p$ canicas, el número de posibles selecciones $k-1 \choose k - p.$
Ahora, no puede ser $n \choose p$ posibles grupos de $p$ mármoles de $n$. Debido a que el resultado anterior es para una específica selección de $p$ mármoles de $n,$ el número total de maneras de seleccionar exactamente un conjunto de $p$ mármoles de $n$ $k$ selecciones, $$ N_p = {n \elegir p} {k-1 \elegir k-p}. $$
El uso de las estrellas-n-barras de fórmula anterior, el total de número de formas de distribución de la $k$ selecciones de $n$ a las canicas con el reemplazo, sin tener en cuenta cómo muchos de los mármoles fueron seleccionados, es $$ N = {n + k -1 \elegir k}. $$
(Tenga en cuenta que usted podría estar preguntándose por qué el valor anterior es no, simplemente, $n^k.$ Este es el número de opciones posibles donde el orden no importa; lo que importa es sólo el número de veces que cada uno de mármol fue seleccionado. Este es el cálculo apropiado para hacer, en este caso, debido a que esta es la misma manera en que se calculó el $N_p.$)
La probabilidad de seleccionar exactamente $p$ $n$ mármoles determinado $k$ selecciones es sólo $N_p/N.$ Que es,
$$ P_p = \frac{ {n \elegir p} {k-1 \elegir k-p} }{ {n + k - 1 \elegir k} }. $$
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