Simplifique$\frac{\Gamma(n)}{\Gamma(n+a)}$ con$a\in\mathbb C$.

Question

¿Cómo se puede simplificar la siguiente expresión? $$\frac{\Gamma(n)}{\Gamma(n+a)}\sim \cdots\text{ ?}$$ Donde $a\in\mathbb C$, $n\in \mathbb N$. Alguna sugerencia por favor?

Propongo la siguiente. Tenemos el clásico Stirling aproximación de la fórmula para la Gamma-Función en la forma: $$\Gamma(z)=\sqrt{2\pi}e^{-z}z^{z-1/2}\left(1+O\left(\frac{1}{|z|}\right)\right)$$

para$|\arg(z)|<\pi$$|z|\to\infty$.

Y, desde otra pregunta aquí también existe el pasado Stirling aproximación para la Gamma-Función debido a la C. Rowe que dice: $$\Gamma(z+a)=\sqrt{2\pi}e^{-z}z^{z+1/2}\left(1+O\left(\frac{1}{|z|}\right)\right)$$

Por lo tanto

$$\frac{\Gamma(z)}{\Gamma(z+a)}=\frac{\sqrt{2\pi}e^{-z}z^{z-1/2}\left(1+O\left(\frac{1}{|z|}\right)\right)}{\sqrt{2\pi}e^{-z}z^{z+a-1/2}\left(1+O\left(\frac{1}{|z|}\right)\right)}=\frac{\left(1+O\left(\frac{1}{|z|}\right)\right)}{z^a\left(1+O\left(\frac{1}{|z|}\right)\right)}$$ and: $$\frac{\Gamma(n)}{\Gamma(n+a)}\sim n^{-a} \ \ \ (n\rightarrow \infty)$$

Agradecería algunas correcciones sobre este procedimiento. Gracias.

Answer 1

Sugerencia:$$B(n,a) = \int_{0}^{1} t^{n-1}(1-t)^{a-1} dt = \frac{\Gamma(n)\Gamma(a)}{\Gamma(n + a)}

Donde$B$ es la función Beta y$\mathcal {Re} (a) > 0$.

Answer 2

$$\ Gamma (x +1) = x \ Gamma (x).$$ Entonces \begin{align} \Gamma(5+a) & = (4+a)\Gamma(4+a) \\[8pt] & = (4+a)(3+a)\Gamma(3+a) \\[8pt] & = (4+a)(3+a)(2+a)\Gamma(2+a) \\[8pt] & = (4+a)(3+a)(2+a)(1+a)\Gamma(1+a) \\[8pt] & = (4+a)(3+a)(2+a)(1+a)a\Gamma(a) \end {align} y luego cancelar un factor desde el numerador y el denominador. Y de manera similar para$n\ne4$.