¿Todos los subconjuntos contables del conjunto de todos los ordinales de límites contables tienen el menor límite superior?

Question

Lo siento si la pregunta es tan trivial, me siento inseguro acerca de estos ordinales todo el tiempo. Es la respuesta a la siguiente pregunta "si":

Indica con A el conjunto de todos los ordinales contables contables. ¿Cada subconjunto contable de A tiene el límite superior en A?

Answer 1

Suponiendo que el axioma de elección, el contable de la unión de conjuntos contables es contable. Por lo tanto, el contable límite de contables ordinales también es contable. Y trivialmente, el límite de límite de ordinales es un ordinal límite.

Así que la respuesta es sí. El conjunto de contables límite ordinales es cerrado bajo contables de las secuencias.

Sin embargo, si no suponemos el axioma de elección, entonces es coherente que $\omega_1$ es el contable límite de contables ordinales, en cuyo caso la respuesta sería negativa.