Demostrando que si$\mathrm{char}(F)=p>0$ entonces si$g(x)\in F[x]$ es irreducible, entonces$g(x)$ tiene múltiples raíces iff$g'(x)=0$

Question

Voy sobre mis notas de la conferencia en mi teoría de Campo de la clase y vi esta instrucción sin una prueba: si $\mathrm{char}(F)=p>0$ si $g(x)\in F[x]$ es irreductible a continuación, $g(x)$ tienen múltiples raíces iff $g'(x)=0$.

Creo que puedo probar que si $g(x)$ tiene múltiples raíces, a continuación, $g'(x)=0$ pero no estoy seguro y no puedo para demostrar que lo contrario también es cierto.

Mi razonamiento es el siguiente: $g(x)$ tienen múltiples raíces implica que hay es una extensión de $K/F$ $\alpha\in K$ s.t $g(\alpha)=g'(\alpha)=0$ (ya que si la multiplicidad de $\alpha$ $g(x)$ $m>1$ (desde no es una raíz simple), entonces la multiplicidad de $\alpha$ $g'(x)$ es, al menos,$m-1\gt 0$). Desde $g(x)$ es irreductible, y podemos suponer que WLOG que $g(x)$ es monic entonces se sigue que el polinomio mínimo de $\alpha$$F$$g(x)$ , pero $g'(\alpha)=0$ e si $g'\neq0$ a continuación, $\deg(g')<\deg(g)$ y esto es una contradicción.

Mi argumento es correcto, y cómo puedo probar lo contrario ? la ayuda es apreciado!

Answer 1

Su argumento para la necesidad es la correcta.

Para la suficiencia, si $g'(x)=0$ $g(x)$ es irreducible, entonces no es constante (constante polinomios son las unidades, por lo tanto no irreductible por definición).

Si escribimos $g(x) = a_nx^n+ a_{n-1}x^{n-1}+\cdots + a_0$,$n\gt 0$$a_n\neq 0$, entonces llegamos a la conclusión de que por cada $i$ tal que $a_i\neq 0$, debemos tener $ia_i=0$; por lo tanto, $i$ es un múltiplo de a $p$. Por lo tanto, $g(x)$ es un polinomio en a $x^p$.

Por lo tanto, tenemos que $g(x) = a_0 + a_1x^p + \cdots +a_kx^{kp}$. Pasando a una extensión de $F$ donde cada coeficiente es una $p$th poder, si es necesario, podemos escribir $g(x)$ $$\begin{align*} g(x) &= a_0 + a_1x^p + \cdots + a_kx^{kp}\\ &= r_0^p + r_1^px^p + \cdots + r_k^px^{pk} \\ &= (r_0 + r_1x + r_2x^2 + \cdots + r_kx^k)^p \end{align*}$$ por lo tanto $g(x) = h(x)^p$ algunos $h(x)$, y, por tanto, $g(x)$ debe repetidos de raíces.

Answer 2

¡Tu prueba se ve bien! Creo que podría probar la otra dirección trabajando más explícitamente con el derivado, de la siguiente manera.

Deje que$\alpha$ sea una raíz de$g$ que se encuentre en alguna extensión de$K/F$. En$K[x]$ se puede escribir$g(x) = (x - \alpha)^mh(x)$ donde$m \geq 1$ y$h(\alpha) \neq 0$. Las reglas antiguas del cálculo se aplican para dar \ [g '(x) = m (x - \ alpha) ^ {m - 1} h (x) + (x - \ alpha) ^ mh' (x). \] Ahora el contrapositivo sigue: si$f$ solo tiene raíces simples, entonces$m = 1$ y$g'(\alpha) = h(\alpha)$ no es cero, entonces$g' \neq 0$.