Convergencia a un punto fijo.

Question

Deje $f : [a,b] \rightarrow [a,b]$ ser una función continua s.t. $f'(x)$ se define en $(a,b)$ e $\left\lvert f'(x)\right\rvert \leqq t$ donde $0<t<1$. Demostrar que para cualquier punto de $x_0$ en $[a,b]$ la secuencia definida por $$ x_n=f(x_{n-1}), n>0$$ converge en un único punto fijo.

Intento: Francamente, he luchado para hacer un intento real por el hecho de que no puedo encontrar notas relacionadas con este.

Obviamente, estoy asumiendo que no existe $x$ en$ [a,b]$ s.t. $f(x)=x$ pero ¿cómo se relacionan la secuencia a esta $x$?

Soy estrictamente no puede asumir la del teorema de Banach en esta pregunta, ni la secuencia de Cauchy, ya que vienen en la segunda parte del curso. Prefiero tener a PROBAR esto.

Answer 1

El teorema del valor medio te dice que la secuencia $\{x_n \}$ es Cauchy porque $|f(y)-f(x)| \leq t|y-x|$ . El espacio $[0, 1]$ está completo, por lo que, dado que la secuencia es Cauchy, debe converger.

Answer 2

Para probar esto desde cero, tenga en cuenta que al MVT $$|x_n-x_m| \leq |x_{m+1}-x_m|+|x_{m+2}-x_{m+1}|$$ $$+\cdots+|x_{n}-x_{n-1}|\leq |x_{m+1}-x_m| (1+t+t^{2}+\cdots+t^{n+m-1})$$ for $ n> m$. Also $ | x_ {m +1} -x_m | \ leq t ^ {m-1} | x_2-x_1 |$. Using the convergence of the geometric series $ \ sum t ^ {n}$ conclude that $ \ {x_n \}$ is Cauchy. If $ x = \ lim x_n$ then the definition of $ x_n$'s and continuity of $ f$ tells you that $ f (x) = x $ . La singularidad sigue fácilmente por MVT.

Answer 3

Esto puede ser probado mediante el Punto Fijo de Banach Teorema.

Intuitivamente, la BFPT nos dice que si hay alguna función $F$ tales que la distancia entre cualquier dos puntos de $x$ e $y$ (cuando se ajusta la escala por una constante $q$) es siempre mayor que la distancia entre las imágenes correspondientes ($F(x)$ e $F(y)$), entonces la secuencia de $$x_n = F(x_{n-1}) $$ se convergen en un único punto fijo. Para una más rigurosa en el tratamiento de la BFPT declaración: https://en.wikipedia.org/wiki/Banach_fixed-point_theorem.

Dado que en este caso sabemos que $$|f'(x)| \leq t $$ Esto implica que

$$\Big|\frac{f(x) - f(y)}{x - y}\Big| \leq t$$

para todos los posibles puntos de $x,y \in [a,b]$. Piense acerca de por qué este es el caso (Sugerencia: Use el valor medio teorema).

Esto implica que

$$| f(x) - f(y)| < t |x-y| $$

que es lo que el BFPT requiere. A partir de aquí, podemos aplicar la BFPT para afirmar que existe un punto fijo en $[a,b]$ para la secuencia

$$ x_n = f(x_{n-1})$$