Encuentre una fórmula explícita para$y_{n}=\frac{1}{n (\sqrt 2)^n}+\frac{n-1}{n} y_{n-2}$

Question

¿Es posible encontrar una fórmula explícita aquí?

Esta es la fórmula de reducción de $$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x)^n dx$ $ .

Si los límites son de $0$ a $\frac{\pi}{2}$, entonces se puede obtener la buena fórmula de Walli, sin embargo, no tengo idea de cómo resolver este tipo de recurrencias. Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Comenzando con $$ y_n=\frac1{n\,2^{n/2}}+\frac{n-1}{n} y_{n-2}\tag1 $$ Multiplicar $(1)$ por $\frac{\Gamma\left(\frac{n+2}2\right)}{\Gamma\left(\frac{n+1}2\right)}=\frac{n}2\frac{\Gamma\!\left(\frac{n}2\right)}{\Gamma\!\left(\frac{n+1}2\right)}=\frac{n}{n-1}\frac{\Gamma\left(\frac{n}2\right)}{\Gamma\left(\frac{n-1}2\right)}$: $$ \frac{\Gamma\!\left(\frac{n+2}2\right)}{\Gamma\!\left(\frac{n+1}2\right)}y_n =\frac1{2^{\frac{n}2+1}}\frac{\Gamma\!\left(\frac{n}2\right)}{\Gamma\!\left(\frac{n+1}2\right)}+\frac{\Gamma\!\left(\frac{n}2\right)}{\Gamma\!\left(\frac{n-1}2\right)} y_{n-2}\tag2 $$ Por lo tanto, obtenemos $$ \overbrace{\frac{\Gamma\!\a la izquierda(n+1\right)}{\Gamma\!\a la izquierda(n+\frac12\right)}y_{2n}}^{\large\alpha_n} =\frac1{2^{n+1}}\frac{\Gamma\!\left(n\right)}{\Gamma\!\left(n+\frac12\right)}+\overbrace{\frac{\Gamma\!\left(n\right)}{\Gamma\!\left(n-\frac12\right)}y_{2n-2}}^{\large\alpha_{n-1}}\tag3 $$ y $$ \overbrace{\frac{\Gamma\!\a la izquierda(n+\frac32\right)}{\Gamma\!\a la izquierda(n+1\right)}y_{2n+1}}^{\large\beta_n} =\frac1{2^{n+\frac32}}\frac{\Gamma\!\left(n+\frac12\right)}{\Gamma\!\left(n+1\right)}+\overbrace{\frac{\Gamma\!\left(n+\frac12\right)}{\Gamma\!\left(n\right)}y_{2n-1}}^{\large\beta_{n-1}}\tag4 $$ Por lo tanto, tomando nota de que $\alpha_n=\alpha_0+\sum\limits_{k=1}^n(\alpha_k-\alpha_{k-1})$, $$ y_{2n}=\frac{\Gamma\!\left(n+\frac12\right)}{\Gamma\!\left(n+1\right)}\left[\frac{y_0}{\sqrt\pi}+\sum_{k=1}^n\frac1{2^{k+1}}\frac{\Gamma\!\left(k\right)}{\Gamma\!\left(k+\frac12\right)}\right]\tag5 $$ y observando que $\beta_n=\beta_0+\sum\limits_{k=1}^n(\beta_k-\beta_{k-1})$, $$ y_{2n+1}=\frac{\Gamma\!\left(n+1\right)}{\Gamma\!\left(n+\frac32\right)}\left[\frac{y_1\sqrt\pi}2+\sum_{k=1}^n\frac1{2^{k+\frac32}}\frac{\Gamma\!\left(k+\frac12\right)}{\Gamma\!\left(k+1\right)}\right]\tag6 $$ Puede ser útil recordar que $\Gamma(n+1)=n!$ e $\Gamma\!\left(n+\tfrac12\right)=n!\frac{\sqrt\pi}{4^n}\binom{2n}{n}$.

Por desgracia, no soy consciente de formas cerradas para las cantidades en $(5)$ e $(6)$.

Answer 2

Podemos encontrar una fórmula explícita para $y_n$ cuando $n$ es incluso. He aquí cómo. Definir $$D_n=y_{2n}$$ Por lo tanto, tenemos $$D_n=\frac1{2n\cdot (\sqrt2)^{2n}}+\frac{2n-1}{2n}D_{n-1}$$ $$D_n=\frac1{2^{n+1}n}+\frac{2n-1}{2n}D_{n-1}$$ Y tenemos el caso base $D_0=\int_0^{\pi/4}dx=\pi/4$.

A continuación, tomamos nota de que, dada la general de la recurrencia de la $$f_n=\alpha_n+\beta_nf_{n-1}$$ Donde $\alpha, \beta$ son funciones explícitas de $n$ y en el caso base $f_0$ es conocido. Tenemos $$f_n=f_0\prod_{i=1}^{n}\beta_i+\sum_{k=0}^{n-1}\alpha_{n-k}\prod_{j=1}^{k}\beta_{n-j+1}$$ Que es una función explícita de $n$. La elección de $\alpha_n=\frac1{2^{n+1}n}$ e $\beta_n=\frac{2n-1}{2n}$ Hemos $$D_n=\frac\pi4\prod_{i=1}^{n}\frac{2i-1}{2i}+\sum_{k=0}^{n-1}\frac{2^{k-n-1}}{n-k}\prod_{j=1}^{k}\frac{2n-2j+1}{2n-2j+2}$$ $$D_n=\frac\pi{4^{n+1}}{2n\choose n}+\frac1{2^{n+1}}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{n-k}\prod_{j=1}^{k}\frac{2n-2j+1}{n-j+1}$$ No sé cómo simplificar el producto final ya aunque. Tenga en cuenta que esta fórmula para $D_n$ trabaja por entero $n\geq0$ porque $\sum_{k=0}^{-1}:=0$ e $\prod_{j=1}^{0}:=1$

Espero que esta ayuda :)